時間序列模型概述-資料下載頁

　　

【正文】 1 ()則理論上T + 1期xt的值應按下式計算 xT+1 = f1 xT + uT+1 + q1 uT ()用估計的參數, 和分別代替上式中的 f1, q1和uT 。 上式中的uT+1是未知的，但知E(uT+1) = 0，所以取uT+1 = 0。xT 是已知的（樣本值）。對xT+1的預測按下式進行 = xT + ()由()式，理論上xT+2的預測式是 xT+2 = f1 xT+1 + uT+2 + q1 uT+1仍取uT+1 = 0，uT+2 = 0，則xT+2的實際預測式是 = ()其中是上一步得到的預測值，與此類推xT+3的預測式是 = ()由上可見，隨著預測期的加長，預測式 () 中移動平均項逐步淡出預測模型，預測式變成了純自回歸形式。若上面所用的xt 是一個差分變量，設 D yt = xt ，則得到的預測值相當于D, (t = T +1, T +2 , … )。因為 yt = yt1 + D yt所以原序列 T+1期預測值應按下式計算 = yT + D ()對于t T +1，預測式是 =+D , t = T +2, T +3, … ()其中是相應上一步的預測結果。用EViews計算相關圖和偏相關圖。附錄：對()式（自相關函數通解表達式）的證明對于AR(p) 過程 xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p xt p + ut (1)它的自相關函數滿足下式，rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 + … + fp rk –p, k 0 (2) （見《計量經濟分析》第77頁）即有(1 f1 L f2 L2 … fp Lp ) rk = 0 (3)則（2）式的自相關函數有如下形式通解， rk = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap Gpk. (4)其中Ai, i = 1, … p 為待定系數。Gi1, i = 1, 2, …, p 是（3）式特征方程(1 f1 L f2 L2 … fp Lp ) = 0 的根。 證明（1）：首先以AR(2) 過程為例xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 + ut (5)由上式可知rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 , k 0 (6) 即有 (1 G1 L ) (1 – G2 L ) rk = 0 (7)其中，Gi1, i = 1, 2是方程(1 f1 L f2 L2 ) = 0 的根。令(1 – G2 L ) rk = yk (8)由(7)式，可得 (1 G1 L ) yk = 0 (9)將上式展開并進行迭代，可得yk = G1 yk－1 = G1 (G1 yk－2) = G12 yk－2 = … = G1k y0其中y0是由初始值確定的常數。由(8)式可得rk = G2 rk－1 + yk = G2 rk－1 + y0 G1k (10)對上式進行迭代，rk = G2 (G2 rk－2 + y0 G1k1) + y0 G1k = G22 rk－2 + y0 G2 G1k1 + y0 G1k …. = G2k r 0 + y0 (G1k + G2 G1k1 + … + G2 k1 G1) (11)當（3）式有相同的根（G1 = G2）時， rk = G1k + y0 k G1k = G1k (1+ y0 k) 當（3）式的根不相等（G1≠G2）時，因為G1k G2k = (G1 G2) (G1 k 1 + G1 k 2 G21 +…+ G11 G2 k 2 + G2 k 1)，所以（11）式 rk = G2k r 0 + y0 G1 (G1k1 + G2 G1k2 + … + G2 k1) = G2k r 0 + y0 G1 = G2k r 0 +(G1k –G2 k) = G2k +G1k –G2 k =G1k – (1–) G2 k = A1G1k – A2 G2 k (12)其中A1 =, A2 = 1同理可以證明（2）式的通解是（4）式。（Ai是一個權數，所以它應該與系數以及系數方程的特征根有關系的。）證明（2）：下面用歸納法證明。假定對于AR(p1) 過程，xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p1 xt – p+1 + ut (13)則它的自相關函數有如下形式通解 rk = A1,p1 G1k + A2,p1 G2k + … + Ap1,p1 Gp1k. (14)其中，Gi1, i = 1, 2, …, p1 是方程(1 f1 L f2 L2 … fp1 Lp 1 ) = 0 的根；Ai,p1, i = 1, … p1 為待定系數。對于AR(p) 過程， xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p xt p + ut (15)則它的自相關函數滿足下面方程rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 + … + fp rk –p, k 0 (16) 即有 (1 G1 L ) (1 – G2 L ) … (1 – Gp L )rk = 0 (17)其中，Gi1, i = 1, 2是方程(1 f1 L f2 L2 … fp Lp) = 0 的根。令(1 – G p L ) rk = yk (18)由(17)式，可得 (1 G1 L ) (1 – G2 L ) … (1 – Gp1 L )yk = 0 (19)即yk滿足AR(p1) 過程的自相關函數方程，從而可得 yk = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap1 Gp1k. (20)由(18)式可得rk = Gp rk1 + yk = Gp rk1 + (21)對上式進行迭代，rk = G p (G p rk2 +) + = G p 2 rk2 + = ….　 = G p k r 0 + (22)證畢20 /