常微分方程第三版課后答案-資料下載頁

　　

【正文】 解組非齊線性方程組的解又對于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數使得從而故上面方程的每一個解在上有界b) 時，當tN時由a)的結論故時，原命題成立 1給定方程組 （）這里A(t)是區間上的連續矩陣，設是（）的一個基解矩陣，n維向量函數F(t,x)在，上連續，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （**）的連續解。反之，（**）的連續解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（**）反之，若是（**）的解，則有兩邊對t求導：即（**）的解是（*）的解 假設A是nn矩陣，試證：a) 對任意常數、都有exp(A+A)=expAexpAb) 對任意整數k,都有(expA)=expkA (當k是負整數時，規定(expA)＝[(expA)])證明：a) ∵（A）（A）＝（A）（A） ∴ exp(A+A)= expAexpAb) k0時，(expA)＝expAexpA……expA ＝exp（A+A+……+A） ＝expkA k0時，k0 (expA)＝[(expA)]=[exp(A)] = exp(A)exp(A)……exp(A) ＝exp[(A)(k)] ＝expkA 故k，都有(expA)=expkA 試證：如果是=Ax滿足初始條件＝的解，那么＝[expA(tt)]證明：由定理8可知＝Ф(t)Ф1(t0) ＋Ф(t) 又因為Ф(t)= expAt , Ф1(t0)=( expAt0)1= exp(At0), f(s)=0,又因為矩陣 （At）（ At0）=（ At0）（At）所以 ＝[expA(tt)] 試計算下面矩陣的特征值及對應的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（E－A）==(－5)(+1)=0∴=5, =－1對應于=5的特征向量u=, ()對應于=－1的特征向量v=, ()b) det（E－A）=(+1)(+2)(－2)＝0∴＝－1，＝2，＝－2對應于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）對應于＝2的特征向量u2＝， （ ）對應于＝－2的特征向量u3＝， （ ）c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0 ∴＝－1（二重），＝3對應于＝－1（二重）的特征向量u＝， （ 0 ）對應于＝3的特征向量v＝, （ ）d) det（E－A）==(+3)(+1)(+2)=0 ∴＝－1，＝－2，＝－3 對應于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ） 對應于＝－2的特征向量u2＝， （ ） 對應于＝－3的特征向量u3＝， （ ） 試求方程組=Ax的一個基解矩陣，并計算expAt，其中A為：a） b）c） d）解：a）det（E－A）=0得＝，＝－對應于的特征向量為u＝， （ 0 ）對應于的特征向量為v＝， （ ）∴u＝，v＝是對應于，的兩個線性無關的特征向量Ф(t)=是一個基解矩陣 ExpAt=b) 由det（E－A）=0得＝5，＝－1解得u＝，v＝是對應于，的兩個線性無關的特征向量則基解矩陣為Ф(t)＝Ф(0)＝ Ф－1(0)＝則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝ c） 由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1 解得基解矩陣Ф(t)＝Ф－1(0)＝ 則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－ 解得基解矩陣Ф(t)＝則expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝試求方程組=Ax的基解矩陣，并求滿足初始條件 解：a）由第4題（b）知，基解矩陣為 所以 b）由第4題（d）知，基解矩陣為 Ф(t)＝ 所以c) 由3（c）可知，矩陣A的特征值為＝3，＝－1（二重） 對應的特征向量為u1＝，u2＝ ∴＝＋ 解得 ＝ 求方程組=Ax＋f（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩陣為Ф(t)解得Ф(t)＝， 則Ф－1(t)＝Ф－1(0)＝求得＝b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3 設對應的特征向量為v1，則 （E－A）v1=0，得v1＝ 取v1＝，同理可得v2 ＝，v3＝ 則Ф(t)＝從而解得c）令=Ax的基解矩陣為Ф(t)由det（E－A）=0得＝1，＝2解得對應的基解矩陣為Ф(t)＝∴Ф－1(t)＝ 從而Ф－1(0)＝∴ 假設m不是矩陣A的特征值。試證非齊線性方程組 有一解形如 其中c，p是常數向量。 證：要證是否為解，就是能否確定常數向量p則p（mE－A）＝c由于m不是A的特征值故mE－A存在逆矩陣那么p＝c（mE－A）－1 這樣方程就有形如的解 給定方程組 a） 試證上面方程組等價于方程組u’=Au,其中u＝，A=b） 試求a）中的方程組的基解矩陣c） 試求原方程組滿足初始條件x1(0)=0, x1’(0)=1, x2(0)=0的解。 證：a）令 則方程組①化為即u’＝u’=Au ①反之，設x1=u1,x1’=u2,x2=u3 則方程組②化為 b）由det（E－A）=0得＝0，＝1，＝2由 得同理可求得u2和u3取則是一個基解矩陣c）令，則①化為等價的方程組①且初始條件變為而②滿足此初始條件的解為： ③于是根據等價性，①滿足初始條件的解為③式 試用拉普拉斯變換法解第5題和第6題。證明：略。 求下列初值問題的解：解：a)根據方程解得＝ ， ＝－∴＝t＋，＝－t＋∵∴0＋＝1 ∴＝1 ∴＝t＋1∵∴－0＋＝0 ∴＝0 ∴＝－t綜上：＝t＋1 ＝－tb）對方程兩邊取拉普拉斯變換，得 解得∴c）對方程兩邊取拉普拉斯變換，得1 假設y＝是二階常系數線性微分方程初值問題 的解，試證是方程 的解，這里f（x）為已知連續函數。 證明：y＝ ∵y’＝∴ 1. 試求出下列方程的所有奇點,并討論相應的駐定解的穩定性態 (1)解: 由得奇點(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)對于奇點(0,0), A= 由=0得=10,=1/20所以不穩定 對于奇點(0,2),令X=x,Y=y2, 則A= 得=1, =1/2所以漸進穩定同理可知,對于奇點(1,0),駐定解漸進穩定 對于奇點(1/2,1/2),駐定解漸進不穩定(2) 解: 由 得奇點(0,0),(1,2),(2,1)對于奇點(0,0)可知不穩定對于奇點(1,2)可知不穩定對于奇點(2,1)可知漸進穩定(3) 解:由得奇點(0,0),(1/,0)對于奇點(0,0) 駐定解不穩定對于奇點(1/,0) 得駐定解不穩定(4) 解: 由得奇點(0,0),(1,1)對于奇點(0,0)得駐定解不穩定對于奇點(1,1)得駐定漸進穩定2. 研究下列紡車零解的穩定性(1) 解:=10,=50,=600 =10 所以零解漸進穩定(2)解:A= 由=0得 得=, =i) +1/20 即1/2,漸進穩定ii) +1/20 即1/2不穩定iii) +1/2=0 即=1/2穩定1. 若不給自己設限，則人生中就沒有限制你發揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經病。既糾結了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。