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傅立葉變換的由來-資料下載頁

2026-06-18 12:47本頁面

　　

【正文】 bi表示，那么這個復數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n=N/2）對應的信號的表達式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小于采樣頻率一半的結果。下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、。用數學表達式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*tpi*30/180)+*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中cos參數為弧度，所以30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看： 1點： 512+0i 2點： 3點： 50點： 51點： 192i 52點： 75點： 76點： + 192i 77點： + 很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下： 1點： 512 51點：384 76點：192 按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(192, )=,結果是弧度，換算為角度就是180*()/pi=。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, )=，換算成角度就是180*。可見，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。總結：假設采樣頻率為Fs，采樣點數為N，做FFT之后，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。

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