第六節多元函數的極值-資料下載頁

2026-07-11 20:22本頁面

　　

【正文】解設矩形的邊長分別為 x和 y，且繞邊長為 y的邊旋轉，得到旋轉圓柱體的體積為 ,0 ,0 ,π 2 ??? yxyxV其中矩形邊長 x， y滿足的約束條件是 2x+2y=2p，即 x+y=p. 現在求函數在條件 x+y–p=0下的最大值 . yxyxfV 2π),( ??構造輔助函數： ),(π),( 2 pyxyxyxF ???? ??求 F(x,y)的偏導數，并建立方程組 ???????????????.0),(,0π),(,0π2),(2pyxyxFxyxFxyyxFyx??????由方程組中的第一、二兩個方程消去 λ，得2y=x，代入第三個方程，得 .32 ,3 pxpy ??根據實際問題，最大值一定存在，且只求得唯一的可能極值點，所以函數的最大點必在處取到 .即，當矩形邊長時，繞 y邊旋轉所得的圓柱體的體積最大， . ?????? pp 31,32ppx 31,32 ??3m a x π274 pV ?例 7 某公司的兩個工廠生產同樣的產品 ,但所需成本不同 ,第一個工廠生產 x個產品和第二個工廠生產 y個產品時的總成本為 z=x2+2y2+5xy+700,若公司生產任務是 500個產品 ,問每個工廠生產多少產品才能使總成本最小 ? 解由題意知成本函數為 z=x2+2y2+5xy+700 約束條件為 x+y=500 構造輔助函數 F(x,y,λ)=x2+2y2+5xy+700+λ(x+y－ 500) 可得 ( , , ) 2 5 0 ,( , , ) 4 5 0 ,( , , ) 500 0.xyzF x y x yF x y y xF x y x y?????? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??得 x=125, y=375 根據題意 ,最小值一定存在 ,且只求得唯一可能的極值 .所以函數的最小值必在 x=125,y=375處取得 ,即當第一個工廠生產 125個產品 ,第二個工廠生產 375個產品時 ,所需總成本最小 .

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