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21-微分中值定理-資料下載頁

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【正文】若取 ( ) ,F x x?則 ( ) ( ) ,F b F a b a? ? ?( ) 1 .Fx? ?則 ()式變成上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,f b f a f b a a b???? ? ? ? ?即為拉格朗日中值定理．是柯西中值定理的特殊情形．可見拉格朗日中值定理柯西定理的幾何意義 : 當曲線由參數(shù)方程給出 ( ) , ,( ) ,x F t a t by f t? ???上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 44 ()F ?()Fa()()x F ty f t??? ??()fa()Fb()fbd ( )d ( )y f tx F t???注意 : xyo弦的斜率切線斜率上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 45 例 14 驗證柯西中值定理對于函數(shù) ( ) s inf x x?和 ( ) c o sg x x? 在區(qū)間 [ 0 , ]2?上的正確性．解易知 sinx 和 cosx 在閉區(qū)間 [0, ]2? 上連續(xù)，在開區(qū)間 (0, )2? 內(nèi)可導(dǎo)，且 ( c o s ) s in 0 ( ( 0 , ) ) .2x x x ?? ? ? ? ?由 ( ) ( 0 )( ) 1 02 1,( ) 0 1( ) ( 0 )2fffg gg?????? ?? ? ? ?? ??上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 46 即 c os n?? ???取 ( 0 , ) ,42??? ?? 從而 ( ) ( 0 )() 2.() ( ) ( 0 )2fffg gg?????????上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 47 ( ) ( 1 ) ( ) , ( 1 , )( ) ( 1 ) ( )f e f f eF e F F? ???? ????例 15 試證至少存在一點使證法 1 用柯西中值定理 . ( ) s in ln , ( ) ln ,f x x F x x??則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理條件 , 令因此 1c os ln1???即上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 48 法 2 令 ( ) s in lnf x x?則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值定理條件 , 使 cos ln x()fx? ? sin1??1x因此存在 1x?s in 1 ln ,x??上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 49 且試證存在證欲證 ( ) ( ) ,2ffab???????因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理條件 , 即要證 22( ) ( ) ( ) .2f b a fba?????? ??例 16 使上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 50 2( ) [ , ] ,f x x a b又因及在上滿足柯西定理條件將 ① 代入 ② , 化簡得故有 ② ( ) ( ) ,2abff??????? , ( , )ab?? ?( ) ( ) ( ) ( ) , ( , )f b f a f b a a b???? ? ? ?故有 ① 上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 51 例 17 分析結(jié)論可變形為 ????? 332( ) ( ) ( )3baf b a f .???( ) [ , ] ,f x a b由在上滿足拉氏中值定理的條件()a , b ,?? 在內(nèi) 至少存在一點有? ??( ) ( ) = ( ) ( )f b a f b f a? :即結(jié) 論變為證明222( ) [ , ] , ( , ) ,0 . : , ( , ) ,()( ) = ( ) .3f x a b a ba b a bff a ab b?????? ? ??? ??設(shè) 函數(shù) 在上連續(xù) 在內(nèi) 可導(dǎo)證明至少存在點使上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 52 注用中值定理證明等式及不等式 , 方法靈活 , 除了熟悉定理的條件 , 結(jié)論外 , 還需掌握一些常見的證明方法 . 有時需要多次運用不同的定理才能得到結(jié)論 . 3 3 2( ) ( ) ( )3f b f a f .ba???? ??即3( ) , y f x y x a b??對函數(shù) 在區(qū) 間 [ , ] 應(yīng) 用柯西中值定理即得上式 .332( ) ( ) ( ) .3ba, f b f a f???? ???存在使上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 53 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 ( ) ( )f b f a?()F x x?( ) ( )f b f a?()F x x?四、小結(jié) 上一頁下一頁返回首頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 54 作業(yè)

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