一維隨機變量及其概率分布-資料下載頁

　　

【正文】 ? ?5 6 0?XP（ 2） ? ?2 0 05 0 0 ??XP? ? ,)3( ?? xXP如果 求 χ 例 .已知某區 5000名初二學生，數學統考成績 x服從正態分布 N(65,152)，求 50分到 80分之間 的學生人數 . 則 P{50 x 80}=P(1?1) =?(1)?(1)=2?(1)1=. 6515x? ??這樣，在 50分到 80分之間的學生人數為 5 0 0 0 0 . 6 8 2 6 3 4 1 3?? 人解：令 例 .某區參加高考的考生 8000人的成績 x服 從正態分布 .已知 ?=410分， ?=11分，根據以往經驗估計 5200名考生能夠考上大學，問應如何確定分數線 . 解：設分數線為 x0 ,依題意，考上大學的考生占 考生總人數的比例為 5200 0 .6 58000p ??即已知 P(xx0)=,由此來確定 x0 , 41011x? ??令? ?0 0 0410410{ 0 .6 51 1 1 1} xP P Px zx ?????? ? ? ? ?????x查表得： z0=,于是分數線為： 0 11 410 406x ? ? ? ? ? （ 分 ）即應選 406分以上的考生都能考上大學 . 為什么說正態分布是概率論中最重要的分布？ 正態分布表現為其取值具有對稱性，極大部分取值集中在以對稱點為中心的一個小區間內，只有少量取值落在區間外。在自然現象和社會現象中，大量隨機變量都服從或近似服從正態分布。如人的身體特征指標 (身高、體重 )，學習成績，產品的數量指標等等都服從正態分布。許多較復雜的指標，只要在受到的大量因素作用下每個因素的影響都不顯著，且因素相互獨立，也可認為近似服從正態分布。因此，可以說正態分布是最重要的分布。 例 將一溫度調節器放置在存儲著某種液體的容器內，調節器定在 d℃ ，液體的溫度 X（以 ℃ 計）是一個隨機變量，且 X～ N(d,)。 (1)若 d=90，求 X89的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于 ，問 d至少為多少？ 190 89 90{ 89 } 89 90( 2)1 ( 2) 1 .XP X P????? ? ????????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?解 （ ） 所 求 概 率 為( 2)80 { 80 } 80 8011 801 0 99 1 ( 7 ) ( 7 )80dX d dP X PX d d dPddd????? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????按 題 意 需 求 滿 足即 。亦 即故 需由標準正態分布的查表計算可以求得， 這說明， X的取值幾乎全部集中在 [3,3]區間 內，超出這個范圍的可能性僅占不到 %. 當 X～ N(0,1)時， P(|X| 1)=2 (1)1= ? ?? ?P(|X| 2)=2 (2)1= ? ?P(|X| 3)=2 (3)1= 四、 3 準則 ?將上述結論推廣到一般的正態分布 , 2X ~ ( , )N ?? 時， ( | X | ) 0 . 6 8 2 6P ??? ? ?( | X | 2 ) 0 . 9 5 4 4P ??? ? ?( | X | 3 ) 0 . 9 9 7 4P ??? ? ?可以認為， X 的取值幾乎全部集中在 [ 3 , 3 ]? ? ? ??? 區間內 . 這在統計學上稱作 “ 3 準則 ” （三倍標準差原則） . ??3 準則 的圖形表示 x ? ??? ??? ??? 3??? 3可以認為， X 的取值幾乎全部集中在 ]3,3[ ???? ?? 區間內 . 典型例題 一、離散型隨機變量 （一）求概率分布 ，３件次品，安裝機器時，從中任取 一個，直到取到正品，就下列兩種取樣方式 a)放回取樣； b)不放回取樣，計算抽取次數Ｘ的概率分布． p，獨立重復試驗直到試驗成功兩次， 求試驗次數Ｘ的概率分布． 3. 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現正面的概率為 p (0＜ p＜ 1）， 設 X為一直擲到正、反面都出現時所需要的次數，求 X的分布列。 ，３件次品，安裝機器時，從中任取 一個，直到取到正品，就下列兩種取樣方式 a)放回取樣； b)不放回取樣，計算抽取次數 Ｘ 的概率分布． 解： a)放回取樣 Ｘ 可取１，２，３， … ，概率分布為： ?,2,1,43)41(}{ 1 ???? ? kkXPp kkb)不放回取樣 Ｘ可取１，２，３，４，概率分布為： 43129}1{ ???XP119123}2{ ???XP109112123}3{ ????XP99101112123}4{ ?????XP p，獨立重復試驗直到試驗連續成功兩次， 求試驗次數 Ｘ 的概率分布． 解： Ｘ 可取２，３， … ，概率分布為 ?,3,2,)1(}{ 2221 1 ??????? ??? kqpkppqCkXPp kkkk ，出現正面的概率為 p (0＜ p＜ 1）， 設 X為一直擲到正、反面都出現時所需要的次數，求 X的分布列。 pqkqppqkXP kk ?????? ?? 1,3,2,)( 11 其中? 。解： Ｘ可取２，３， … ，概率分布為 （二）概率分布已知，相關問題的計算 ４．設 離散型隨機變量 Ｘ 的概率分布為 X 0 1 3 7 P 0. 2 5 0 . 2 α 0 . 3 求 （１） α；（２）分布函數；（３） Ｐ ｛０＜ Ｘ ＜５｝ 解： (1)由 得 α＝ 1??k kp????? xx kkpxXPxF }{)().2(??????????????????7100xxxxx（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝ =Ｐ｛ X=1}+P{X=3}= （三）分布函數已知，相關問題的計算 ５．設離散型隨機變量 Ｘ 的分布函數為 ??????????????????5,153,31,10,0,0)(xxxxxxF求（１） Ｘ 的概率分布； （２） Ｐ ｛１ ≤X＜５｝； 解： (1) P{X=0}=F(0)F(00) == P{X=1}=F(1)F(10) == P{X=3}=F(3)F(30) == P{X=5}=F(5)F(50) == （２） Ｐ ｛１ ≤X＜５｝ =F(50)F(10) == (四）幾種重要分布 ６．一射手對同一目標獨立地進行４次射擊，每次射擊的命中 率相同，如果至少命中一次的概率為 80/81，求該射手的命中率． 解： 設 該射手的命中率為 p, 命中次數為 Ｘ ，則 Ｘ ～ B(4,p) 由題意得 P{X≥1}=80/81, 所以 P{X＝ 0}=1/81 即 (1p)4=1/81 , 所以 p=2/3 ，設每個飲料瓶是否被打破相互 獨立，每個飲料瓶被打破的概率 ，求商店收到破碎瓶子數 分別是 (１ )恰有２只； (２ )小于２只； (３ )至少是１只的概率． 已知 e3= 解： 設收到的破碎瓶子數 為 Ｘ ，則 Ｘ ～ B(1000,) 由于 n較大， p較小，可用泊松定理作近似計算 λ＝ np=3 (1) P{X=2}≈(32/2!)e3≈ (2) P{X＜ 2}= P{X=0}+ P{X=1}≈ (30/0!)e3 +(31/1!)e3 =4e3 ≈ (3) P{X≥1}= 1 P{X=0}≈ 1 e3 ≈ 二、連續型隨機變量 （一）分布函數已知，相關問題的計算 １．設連續型 隨機變量Ｘ的分布函數為 ????????? ?0,00,)( 22xxBeAxFx求 （１）Ａ和Ｂ； （３）隨機變量Ｘ的概率密度； }22{)2( ?? XP解： (1)利用 F(+∞)=1,及 F(x) 在 x=0處的連續性得： A=1 A+B=0 所以Ａ＝１， B= 1 ???????? ?0,00,)( 22xxexFx１－即：}22{)2( ?? XP=F(2) )2(F? 21 ?? ?? ee)()()3( xFxf ???????????0,00,22xxxex(二）概率密度已知， 相關問題的計算； ２． 設連續型 隨機變量Ｘ的概率密度為 ?????? ?000)( 22xxeAxxf x求（１）Ａ； }210{)2( ?? XP }21{)3( ?XP解：由概率密度的性質得： 1)( ?? ??? dxxf而 ?? ? ???? ? 0 22)( dxeAxdxxf x?? ? ??? ? ??0220228dtetAdxexA ttxx4)3(8AA ???所以 A=4 }210{)2( ?? XP?? ??? 21022210 4)( dxexdxxfx1251 ??? e0}21{)3( ??XP 隨機變量 Ｘ 的概率密度為 ???????????其它021210)( xxxxxp求分布函數 Ｆ (x)． 解 由于 p ( x ) 是一個分段函數，相應的積分 ???xdttp )( 也應分段來求。 當 x 0 時， ? ??? ?? ??? x x dtdttpxF 。00)()(當 0≤x＜ 1時， 200210)()( xt d tdtdttpxF xx ???? ?? ??? ??當 1≤x＜ 2時， ??? ?????? ?? ?? xx dtttd tdtdttpxF 1100 )2(0)()(1212 2 ??? xx當 x≥2時 , 10)2(0)()(221100 ??????? ???? ??? ??xx dtdtttd tdtdttpxF(三）正態分布的有關問題 １．設隨機變量 X 服從正態分布 ),(2??N，則隨 ? 的增大，概率 }{ ?? ??Xp （ ） （ A ）單調增加； （ B ）單調減少； （ C ）保持不變； （ D ）增減不定。2 ．設 )4,(2?NX ～， )5,(2?NY ～，記 }4{1 ??? ?XPp ，}5{2 ??? ?YPp 則 (A) 對任意的 μ ，都有 21 pp ? ； ( B) 對任意的 μ ，都有 21 pp ? ； (C) 只有對個別值才有 21 pp ? ； (D) 對任意的 μ ，都有 21 pp ? ．４．某地外語成績（百分制）近似服從正態分布，平均成績為 ７２分，９６分以上占考生總數 ％，求考生成績在６０分至 ８４分之間的概率． 解： 由題設知：外語成績Ｘ近似服從正態分布 X～ N（ μ,σ2） 其中 μ＝７２， σ2未知，由于 )24(1)7296(1}96{ ????????? ??XP即： )24( ?? ?查表得： 224 ??因此 σ=12 所以 )12 7260()12 7284(}8460{ ???????? XP68 )1(2)1()1( ?????????（四）隨機變量函數的分布 5 ．設隨機變量 X 服從參數為２的指數的分布，證明XeY 21 ??? 在 （０，１）內均勻分布．解： Ｘ服從參數為２的指數分布 ?????? ?0002)( 2xxexf xxey