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數學：223待定系數法課件新人教b版必修1-資料下載頁

2026-07-23 17:41本頁面

　　

【正文】－ 2(x177。 3)2＋ 2. 即 y＝－ 2x2－ 12x－ 16或 y＝－ 2x2＋ 12x－16. 評析：由 y ＝ a ( x － h )2＋ 2 知對稱軸為 x ＝ h ， ∵ x 軸上兩交點的距離為 2 ， ∴ 兩交點離對稱軸 x ＝ h 的距離都是 2 的一半，即22＝ 1. ∴ 在對稱軸 x ＝ h 的右邊交點的橫坐標為 x1＝ h ＋ 1 ，左邊交點橫坐標為 x2＝ h － 1. 這里注意如果兩交點的距離為 m ，則兩交點到對稱軸的距離都為 m 的一半即m2. 【例 6】已知二次函數 f(x)滿足條件：①過原點，② f(x－ 1)＝ f(3－ x)，③ f(x)＝ 2x有相等的實數根． (1)求 f(x)的解析式； (2)是否存在實數 m， n(mn)，使 f(x)的定義域和值域分別為 [m， n]和 [4m,4n]，如果存在，求出 m， n的值；如果不存在，說明理由．分析： (1)用待定系數法結合三個條件可求解析式， (2)利用二次函數的單調性解決．解：設 f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，由 ① 知： c ＝ 0 ；由 ② 知 f ( x ) 的對稱軸方程是 x ＝－b2 a＝1 ， b ＝－ 2 a ；由 ③ 知 f ( x ) ＝ 2 x ，即 ax2＋ bx － 2 x ＝ 0 有等根，∴ Δ ＝ ( b － 2)2＝ 0 ， b ＝ 2. ∴ a ＝－ 1. ∴ f ( x ) ＝－ x2＋ 2 x . ( 2) ∵ f ( x ) ＝－ ( x － 1)2＋ 1 1 ， ∴ 4 n 1 ，即 n14. 而拋物線 y ＝－ x2＋ 2 x 的對稱軸為 x ＝ 1 ， ∴ 當 n14時， f ( x ) 在 [ m ， n ] 上為增函數．若滿足題設條件的 m ， n 存在，則????? f ( m ) ＝ 4 m ，f ( n ) ＝ 4 n ，即????? － m2＋ 2 m ＝ 4 m ，－ n2＋ 2 n ＝ 4 n ∴ m ＝－ 2 ， n ＝ 0 ，這時定義域為 [ － 2,0] ，值域為 [ － 8,0] ． ∴ 滿足條件的 m ， n 存在， m ＝－ 2 ， n ＝ 0. 評析：由 f(x)的值域確定 n的取值范圍是解決第 (2)問的關鍵．題型三待定系數法在經濟生活中的應用【例 7】如圖有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位 AB時寬 20 m，水位上升 3 m就達到警戒線 CD，這時水面寬度為 10 m. (1)在如圖的坐標系中，求拋物線的解析式； (2)若洪水到來時，水位以 m/h的速度上升，從警戒線開始，再持續多少小時才能到拱橋頂．分析： ( 1 ) 從圖形可知拋物線為 y ＝ ax2的形式，且點 D 、B 在拋物線上， BE ＝12AB ＝ 10m ， DF ＝12CD ＝ 5m ， EF ＝ 3 m. ∵ 點 B 在點 D 下方， ∴ 設點 D 的坐標為 (5 ， y ) ，則點B 的坐標為 ( 1 0 ， y － 3) ，把 D 、 B 兩點坐標代入拋物線 y ＝ax2中，可求出拋物線的解析式． ( 2 ) 從 ( 1 ) 中可求出點 D 的縱坐標，即警戒線到拱橋頂的距離可知．又知水位以 0 . 2 m / h 的速度上升，就可求出再持續多少小時才能到拱橋頂．解： ( 1 ) ∵ CD ＝ 10 ， ∴ DF ＝12CD ＝ 5. AB ＝ 20 ， BE ＝12AB ＝ 1 0 . ∴ 設拋物線 y ＝ ax2，點 D 的坐標為 (5 ， y ) ． ∴ 點 B 的坐標為 ( 1 0 ， y － 3) ．又 ∵ 點 D 、 B 在拋物線 y ＝ ax2上， ∴????? y ＝ 25 a ，y － 3 ＝ 100 a .解得????? a ＝－125，y ＝－ 1. ∴ 拋物線的解析式為 y ＝－125x2. ( 2 ) ∵ 點 D 的坐標為 (5 ，－ 1) ， ∴ 警戒線到拱橋頂的距離為 1 m ， ∴10 . 2＝ 5 ( h ) ， ∴ 若洪水到來時，水位以 0 . 2 m / h 的速度上升，再持續 5 h ，才能到拱橋頂．評析：把實際問題轉化為數學問題，即轉化為點的坐標及函數解析式，應該注意點所在的象限，也就是點的坐標的符號．

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