02一階邏輯-資料下載頁

　　

【正文】 ?x?x(x x) 該命題為假命題，原因是違背了條件 (2). 存在量詞引入規則 (E+規則 )： A(c) ? (?x)A(x) 要求： (1) c是特定的個體常項 (2) 取代 c的 x不能已在 A(c)中出現過 . 例 ： F(x,y)： x y， x,y ?R, 設 A(2)= ?xF(x ,2), A(2) 為真命題 ， x已在 A(2)中出現過。若取 x代替 2得 ?xF(x ,x)， 該命題為假命題，原因是違背了 (2). 存在量詞消去規則 (E規則 ) ?xA(x) ? A(c) 要求 : (2) c不曾在 A(x)中出現過 (3) A(x)中除 x外還有其它自由出現的個體變元時，不能用此規則 (1) c是使 A為真的特定的個體常項 存在量詞消去規則 (E規則 ) ?xA(x) ? A(c) 要求 : (1) c 是使 A為真的特定的個體常項 例： F(x)： x 是奇數 ， G(x)： x 是偶數 ， x?N, 則 ?x F(x) ? ?x G(x)是真命題。如不注意條件 (1)的使用，從 ?x F(x) 、 ?x G(x)會推出假命題 ： ① ?xF(x) 前提引入 ② F(c) ① E規則 ③ ?xG(x) 前提引入 ④ G(c) ③ E規則 ⑤ F(c) ? G(c) ②④ 合取 引入 ⑥ ?x (F(x) ? G(x)) ⑤ E+規則 存在量詞消去規則 (E規則 ) ?xA(x) ? A(c) (3) A(x)中除 x外還有其它自由出現的個體變元時，不能用此規則 例：在實數集中， ?x?y(x y)是真命題，而 ?x(x c)是假命題 。 ① ?x?y(x y) 前提引入 ② ?y(z y) ① U規則 ③ z c ② E規則 ④ ?x(x c) ③ U+規則 該結論是錯誤的，其原因是違背了條件 (3),在應用 E規則時， z是自由出現的個體變項。 例 證明蘇格拉底三段論 “ 凡人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的 ” 。 解題步驟 (1) 命題符號化 (2) 寫出前提、結論 (3) 用推理規則進行推理 (構造證明 ) 二、 謂詞邏輯推理中遵循的推理規則 解： 命題符號化： F(x)： x是人 G(x)： x是要死的 a： 蘇格拉底 前提： (?x)(F(x)?G(x))， F(a) 結論： G(a) 證明： ① (?x)(F(x)?G(x)) 前提引 入 ④ G(a) ②③ 假言推理 ② F(a)?G(a) ① U規則 ③ F(a) 前提引入 二、 謂詞邏輯推理中遵循的推理規則 例 證明： “ 每個學術會的成員都是工人并且是專家，有些成員是青年人，所以有的成員是青年專家 ” 。 解： 命題符號化： F(x)： x是學術會會員 G(x)： x是專家 H(x)： x是工人 R(x)： x是青年人 二、 謂詞邏輯推理中遵循的推理規則 前提： (?x)(F(x)?G(x)?H(x))， (?x)(F(x)?R(x)) 結論： (?x)(F(x)?R(x)?G(x)) 證明： ① (?x)(F(x)?R(x)) 前提引 入 ④ F(c)?G(c)?H(c) ③ U規則 ② F(c)?R(c) ① E 規則 ③ (?x)(F(x)?G(x)?H(x)) 前提引入 二、 謂詞邏輯推理中遵循的推理規則 ⑨ (?x)(F(x)?R(x)?G(x)) ⑧ E+ 規則 ⑦ G(c) ⑥ 化簡 ⑧ F(c)?R(c)?G(c) ②⑦ 合取 ⑤ F(c) ② 化簡 ⑥ G(c)?H(c) ④⑤ 假言推理 注意： 如果將證明步驟改為： 1. (?x)(F(x)?G(x)?H(x)) (c)?R(c) 2. F(c)?G(c)?H(c) 3. (?x)(F(x)?R(x)) … 最后也可推出 (?x)(F(x)?R(x)?G(x))， 但 (4)是有錯誤的，因為 (2)中 c不一定剛好滿足 (3)。 如果前提中既有存在量詞公式，又有全稱量詞公式，應先消去存在量詞公式中的量詞以避免上述錯誤。 ⑦ G(y)? ? F(y) ④⑥ 假言三段論 ⑧ (?x)(G(x)? ? F(x)) ⑦ U+規則 ⑤ (?x)(G(x)? H(x)) 前提引入 ⑥ G(y)?H(y) ⑤ U規則 ④ H(y)?? F(y) ③ U規則 ③ (?x)(H(x)? ? F(x)) ② 置換 證明： ① ? (?x)(F(x)?H(x)) 前提引入 ② (?x)(? F(x)?? H(x)) ① 置換 例 構造下列推理的證明： 前提： ?(?x)(F(x)?H(x))， (?x)(G(x)?H(x)) 結論： (?x)(G(x)? ? F(x)) 例 證明：每個科學工作者都是刻苦鉆研的，每個刻苦鉆研而又聰明的人在他的事業中都將獲得成功。王大海是科學工作者，并且是聰明的。所以 王大海 在他的事業中將獲得成功。 （個體域為人類集合） 解： 命題符號化： F(x)： x是科學工作者 G(x)： x是刻苦鉆研的 H(x)： x是聰明的 I(x)： x在事業中獲得中獲得成功 a： 王大海 ⑦ G(a) ? H(a)? I(a) ⑥ 假言三段論 ⑧ G(a) ? H(a) ④⑤ 合取 ⑤ H(a) 前提引入 ⑥ (?x) ((G(x) ? H(x)? I(x) ) 前提引入 ④ G(a) ①③ 假言推理 ③ F(a)?G (a) ② U 規則 證明： ① F(a) 前提引入 ② (?x)(F(x)?G(x)) 前提引入 前提： (? x)(F(x) ? G (x))， (?x) ((G(x) ? H(x)? I(x) ) F(a)， H(a) ⑨ I(a) ⑦⑧ 假言推理 結論： I(a)