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2026-07-27 03:04本頁面

　　

【正文】分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30176。，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=　7　．點P到AB邊的距離PE=　4或10　．考點：等腰三角形的性質；三角形的面積．1585408專題：幾何綜合題．分析：（1）連接AP．先根據三角形的面積公式分別表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根據直角三角形的性質得出AC=2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進行討論：①P為底邊BC上一點，運用結論PE+PF=CH；②P為BC延長線上的點時，運用結論PE=PF+CH．解答：解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30176。，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P為BC延長線上的點時，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．點評：本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵．　12．（2012?云南）如圖，在△ABC中，∠C=90176。，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM=AC，過點M作ME∥BC交AB于點E．求證：△ABC≌△MED．考點：全等三角形的判定．1585408專題：證明題．分析：根據平行線的性質可得出∠B=∠MED，結合全等三角形的判定定理可判斷△ABC≌△MED．解答：證明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90176。，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC與△MED中，∴△ABC≌△MED（AAS）．點評：此題考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，難度一般．　

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