圓錐曲線習題精選精講-資料下載頁

　　

【正文】 ，求k的值. 講解：∵（1）原點到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設的中點是，則 即故所求k=177。.　　　　　為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程. 例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點FF2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90176。，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12． （1）求橢圓C的離心率； （2）求橢圓C的方程． 講解：（1）設, 對 由余弦定理, 得，解出 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當k存在時，設l的方程為………………① 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉化為 ………………②將①代入②，消去得 ,整理為的一元二次方程，得 .則xx2是上述方程的兩根．且，也可這樣求解： ，AB邊上的高 ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得 由①②知S的最大值為 由題意得=12 所以 故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為： 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣：設過左焦點的直線方程為：…………①（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：……②把①代入②并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而當且僅當m=0取等號，即由題意知, 于是 .故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（１）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程. 講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得, 根據韋達定理，得 ∴線段AB的中點坐標為（）. 由已知得，故橢圓的離心率為 . （2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為解得 由已知得 ，故所求的橢圓方程為 . 例6 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點， （1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程. 講解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中， ，故，所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設由點M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得 適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙. 例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90176。，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；A O B C（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，試確定實數的取值范圍．講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | 　　y=∴動點P的軌跡是橢圓∵∴曲線E的方程是 . （2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得設M1（, 則①②③ i) L與y軸重合時， ii) L與y軸不重合時， 由①得 又∵,∵ 或 ∴0＜＜1 ,∴∵而 ∴∴ ∴ , ,∴的取值范圍是 . 值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕. 例8 直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點. （1）求證：。（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線. 講解: （1）易求得拋物線的焦點. 若l⊥x軸，可設,代入拋物線方程整理得. 綜上可知 .（2）設，則CD的垂直平分線的方程為假設過F，則整理得 ，. 這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線. 此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！ 例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60176。，試說明怎樣運土石最省工？ 講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,∴M在雙曲線的右支上.故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.1