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極限的概念和運算法則-資料下載頁

2026-07-27 08:06本頁面

　　

【正文】 n?? 時都是無窮小 ,2 2 2 21 2 ( 1 )l im l im2nnn n nn n n n? ? ? ????? ? ? ?????無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小 . 例如 1 1 1l im .2 2 2n n????? ? ?????性質 2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小 . 例 16 2s inlim .xxx??求,x ??當時分子及分母的極限都不存在 ,2 2 2s i n 1 1s i n , , 0 s i n ,x x x xx x x? ? ? ?當時的極限為 , 是有界函數2s inl im 0 .xxx????解不能直接應用極限運算法則 .2．無窮大量定義 0 ( ) , ( ) ,x x x f x? ? ?如果當或時函數的絕對值無限增大0( ) ( ) .f x x x x? ? ?則函數叫作當或的無窮大量時011( ) 0 , l i m .xf x xxx ?? ? ? ?是當時的無窮大記作例如 ( ) , l i m .xx xf x e x e? ? ?? ? ? ? ? ? ?是當時的無窮大記作特殊情形：正無窮大 ,負無窮大． 00( ) ( )l i m ( ) l i m ( ) .x x x xxxf x f x??? ? ? ?? ? ? ? ? ?，注意 (1) 函數是無窮大 ,必須指明自變量的變化趨向 . (2) 無窮大是變量 ,不能與很大的數混淆 . 定理 , ( ) ,fx在自變量的同一變化過程中如果是無窮大則11 。 , ( ) , ( ) 0 , .( ) ( )f x f xf x f x?是無窮小反之如果是無窮小且則是無窮大3．無窮小與無窮大的關系 4 無窮小的比較 3, 2 ,x x x 都是無窮小 ,但是趨于 0的速度似乎是不同的 , 0,x ? 時需要對兩個無窮小趨于 0的速度做出比較的方法定義 ??設和都是在同一自變量的變化過程中的無窮小，( 1 ) l im 0 , , ( ) 。? ? ? ? ? ?? ??若則高階的無窮小稱是比記作( 2) l im , 。? ??? ??若則低階的是比無窮小稱( 3 ) l im 0 , 。C? ??? ??若則稱與同階的無窮小是( 4) l im 1 , , ~ .? ? ? ? ?? ?若則稱與窮小記作等價無是例 17 比較下列無窮小的階數的高低 : 313( 1 ) , .xxx?? 時無窮小與2( 2 ) 2 , 2 4 .x x x? ? ?時無窮小與32111( 1 ) l im l im 0 ,3 3xxxxx? ? ? ???解 2211( 3 ) , .x 3 x 2x xx?? ??時無窮小與+331 3 1 3 , , .xx x x x???? ? ? ? ????當時是比高階的無窮小即22 2 24 ( 2 ) ( 2 )( 2) l im l im l im ( 2 ) 4,22x x xx x x xxx? ? ?? ? ?? ? ? ???2 2 , 2 4 .x x x? ? ? ?當時與是同階的無窮小2222132( 3 ) l im l im = 1 ,132xxx x xxxxx x ? ? ? ????++2211 ,32x x x x x ? ? ? ?當時與是等價無窮小 ,+2211 ( ) .32 xx x x x ? ? ??即 +作業習題 4 (2) 5 、 6 (2) 、 (4) 補充題

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