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第13章-虛位移原理及拉格朗日方程-資料下載頁

2026-07-27 10:16本頁面

　　

【正文】連桿長均為l，各連桿的鉸鏈至轉軸中心的距離為a；彈簧的剛度系數為k，其上端與轉軸緊接，下端壓住套筒，當偏角a=0時，彈簧為原長不受力。求調速器的角速度w與偏角a的關系。題1323圖解：由題意，設物塊A、B的慣性力為解除彈簧的約束，則彈性力為建立坐標系如圖所示，則A、B、C處的坐標分別為變分為由虛位移原理將變分結果代入方程得由于185。 0，所以將慣性力和彈性力代入上式，解得1324 題1324圖所示，吊索一端繞在鼓輪Ⅰ上，另一端繞過滑輪Ⅱ系于重的平臺A上，鼓輪半徑為r、重為，電動機給鼓輪的轉矩為M，試求平臺上升的加速度。設鼓輪可看作均質圓盤，滑輪的質量可以不計。Ⅱ m2gAFI1djMIM ⅠdrQFI2ae （1）（2）題1324圖解：設平臺上升的加速度為a，則各運動物體的慣性力為由虛位移原理其中代入虛功方程由于，所以解得 1325 重Mg的三棱柱放在光滑水平面上，重mg的均質圓柱沿三棱柱的斜面AB滾下而不滑動。求三棱柱的加速度和柱心C相對于斜面的加速度。AeFIyMICFIaABMgdxFNaBCaFIxar mgdy162。adx162。r（1）（2）xhlODBayxO1 mg MgCMICexyOADCBaxlhxO1 mg Mgx （3）（4）題1325圖解：（解法一）在系統水平方向運用質心運動定理有慣性力為設三棱柱的水平虛位移為dx，圓柱水平虛位移為dx162。，垂直虛位移為dy162。，由虛位移原理由幾何關系即由于dj≠0，所以解得（解法二）選x與x為廣義坐標，如圖（3）所示，于是：分析運動，三棱柱ADB沿光滑水平面平動，設質心C的加速度向右，加慣性力大小為；圓柱作平面運動，輪心O1隨三棱柱有牽連加速度，還有沿斜面向下的相對加速度，有滾動角加速度e，＝re，加慣性力系如圖（4）示。令x不變，給x以變分d x，得到：即 (a)令dx＝0，只給dx，圓柱滾動，得：式中由此得到：由于，所以 (b)由式(a)得：代入式(b)，得：化簡得出：式中負號表示三棱柱的加速度方向與圖示方向相反。代入(a)式即可得出： 1326 質量為m的單擺繞在一半徑為r的固定圓柱體上，如題1326圖所示。設在平衡位置時，繩的下垂部分長為l，且不計繩的質量，求擺的運動微分方程。Ojmgjl（1）（2）題1326圖解：設繩子與圓柱的切點為O162。（擺動過程中，O162。可變），則動能可表示為以過圖中O點的平面為零勢面，則有拉格朗日函數為求導得代入拉格朗日方程得1327 一根不可伸長的輕繩，一端繞于質量為m、半徑為r的均質圓盤上，另一端固定，如題1327圖所示。今將此圓盤從繩的非鉛直位置靜止釋放，設細繩始終保持拉緊狀態，試求均質圓盤的運動微分方程。OPvPvPvAPvAATr（1）（2）題1327圖解：此系統有兩個自由度，取y、q為廣義坐標，則圓盤的轉角j可表示為圓盤的角速度為圓盤作平面運動，以P為基點，則A點的速度為系統的動能為以過O點為零勢能點系統的拉氏函數為則代入拉氏方程，得 1328 半徑為r、質量為m的圓柱體A，可在物塊B中、半徑為R的半圓槽內作純滾動。物塊B的質量為M，可在光滑水平面上運動。兩根水平放置的彈簧與物塊B相聯結。已知彈簧剛度系數均為k，物塊處于平衡位置時，兩彈簧都不受力。試建立系統微幅運動微分方程。（1）xjAkkBOvOrx（2）題1328圖解：此系統有兩個自由度，取x、j為廣義坐標，則圓柱體作平面運動，其中則圓柱體的角速度為系統的動能為取靜平衡位置x＝0，j＝0時為零勢能點，則系統的勢能為則拉氏函數為代入拉氏方程，整理得 *1329 質量為m1的質點被限制在水平固定面的光滑直線Ox上滑動，另一質量為m2的質點，以長l的輕桿與m1相聯結，此桿僅能在通過固定直線Ox的鉛直平面內運動，如圖示。設此二質點只受重力作用，試用拉格朗日方程證明，該質點系運動時遵循如下關系：常量。yOxm1ljm2jvr （1）（2）題1329圖解：設m1的速度為，桿l的角速度為，則質點m2的速度為系統的動能為令，∵系統只受重力作用由拉格朗日方程有兩邊同時積分有常數1330 桿OA長l＝，重量不計，可繞水平軸O擺動。在A端裝一質量M＝2kg、半徑r＝，在圓盤的邊緣B上，固結一質量m＝1kg的質點。試求此系統作微幅振動的運動微分方程。vBAvAa解：此系統只有兩個自由度，取q、j為廣義坐標，圓盤作平面運動，則系統的動能為因為a＝j－q，代入方程整理得取O點的水平面為零勢能面，系統的勢能為題1330圖代入已知數據，并將cos(j－q)展開，略去三階以上微量，取得代入拉氏方程令，整理得 *1331 半徑為r、質量為mO的空心薄壁圓柱在地面上滾動而不滑動。圓柱內有一質量為m的小圓球（可以看作質點）沿光滑圓柱內壁運動。試建立該系統的運動微分方程。yCOxxqrvOr （1）（2）題1331圖解：此系統有兩個自由度，取x、q為廣義坐標，質點相對于圓柱的運動速度為，設動坐標系與圓柱固連，則質點的速度為則系統的動能為以x軸的水平面為零勢能面，系統的勢能為則拉氏函數為代入拉氏方程，整理得 402

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