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離散傅里葉變換和快速傅里葉變換-資料下載頁

2026-07-27 10:36本頁面

　　

【正文】【分析】請注意，題目只要求繪制幅度頻譜。第（1）小題：首先，由于采樣時間都不是原有信號周期的整數倍，兩個采樣方式對應的頻譜均發生了泄漏。不過由于2048點采樣對應的采樣時間較長，它頻譜泄漏的程度比512點采樣輕。其次，由于20 Hz的2048點采樣的頻率分辨率為20/2048= Hz Hz，因此放大頻譜圖之后我們可以看到4 Hz、 Hz和5 Hz對應的譜線，而512點采樣的頻率分辨率為20/512= Hz Hz，因此4 Hz對應的譜線無法區分。第（2）小題：首先，由于采樣時間都不是原有信號周期的整數倍，頻譜均發生了泄漏。而且由于采樣時間較短，頻譜泄漏比第（1）小題的兩個頻譜更加嚴重。其次，由于都是32點采樣，因此實際的頻率分辨率較低，無法區分4 Hz對應的譜線。最后，雖然都是32點采樣，但由于補0個數的不同，各頻譜譜線間距各不相同。例如，補零最多的序列一共有544個數據點，因此譜線間距小。由此還可以得出結論：數據點個數越多，則頻譜越傾向于連續。可見，當采樣時間不是原信號周期整數倍而且采樣時間較短時，頻譜泄漏相當嚴重的，所有的頻率上都有了幅值即能量，可見當取樣信號的樣點數取得不夠時，原信號所攜帶的信息就不能被完全取得。而若將取樣信號補零，由圖可見信號的能量相應的泄漏到了幾乎所有頻率上了，這樣所得的信號仍然嚴重失真，因此不能靠將信號補零這樣的方法來取得更精確的采樣信號。要想獲得不泄漏的頻譜，在采樣頻率不變的前提下，必須使采樣時間等于原信號周期的整數倍，或者盡量延長采樣時間以減少泄漏。四、實驗體會，請見第3部分每道題的末尾。，數組的序號是從1開始的，這與信號處理時通常的序號起點（0）不一致。我在編程充分注意到了這個問題。，所以最后算得的值并不是準確值。例如，對一個復數z，即使f(z)的虛部為零，但由于截斷誤差的存在（特別是z的虛部為無窮小數時），最終f(z)值的虛部可能是一個極小的非零值，從而在顯示時出現“零虛部”（例如，2+ )。、DFT以及其快速算法FFT進行計算，使得在實驗中比較難以實現的信號分析過程（離散信號的采集和顯示都是比較困難的）在計算機計算中實現，證明了理論的正確性，說明仿真計算是一種十分有效的輔助手段。《信號的采集與恢復》我知道了，要想盡量不失真地取得一個信號的頻譜（低混疊、低泄漏），應該盡量滿足以下條件：（1）使用的開關函數要盡量接近理想沖激串；（2）采樣頻率要高于原始信號的奈奎斯特頻率。對于頻譜不受限的信號，為了避免頻譜混疊，應該使用低通濾波器進行濾波；（3）對于頻帶不受限的信號，抗混疊濾波器要盡量接近理想濾波器。（4）采樣的持續時間最好能夠是原信號周期的整數倍，一避免頻譜泄漏。而當不知道原信號的周期（或者周期不穩定）時，就要通過延長采樣時間來盡量減少泄漏，從而突出原信號的譜線。（5）當信號混有白噪聲時，就更應注意減少頻譜的泄漏和混疊，否則信號分析更加困難，甚至可能會使原信號被誤差“淹沒”。（6）若原信號有多個頻率成分，應該盡量提高采樣的頻率分辨率，以區分出更細微的頻率差異。，在計算2048點采樣時，初步體會到了FFT算法的優越性。在我的計算機上，FFT算法的確比原始的DFT更快。不過由于采樣點數較少，這一差別僅限于幾秒鐘。在采樣點更多時，FFT在速度上的優越性應該能進一步突出。：實驗中有些M文件代碼總是出錯。解決方法：重新檢查，在稿紙上演算，體會運算過程。例如，Matlab數組序號起始位置（為1，而非C語言的0）的問題，就是這樣發現的。編程時對代碼不熟悉，使得思路比較混亂。解決方法：畫流程圖，理清思路。對比較復雜的程序尤其如此。感到大一時C語言教學并未強調流程圖，這是一個教學中值得改進的地方。C語言中，比起掌握運算符優先級，對流程圖思想的培養顯得更為重要。附錄：附錄A 值得指出的是，在Matlab中，數組的序號是從1開始的（而在信號分析中習慣從0開始），我在上面編程時已考慮到這一情況。例如，下面可以驗證DFT函數的正確性（順便也可以驗證FFT函數）。 n=1:8。 xn=6*cos(pi*(n1)/4)。 DFT(8,xn)。圖附1 驗證DFT函數教材112頁給出了這一序列的DFS幅度譜。根據DFS和DFT之間的關系，將上面的DFS幅度譜的幅值縮小8倍并取主周期后，就是上圖左側的DFT幅度譜。可見我編寫的DFT函數正確。附錄B 出于興趣，我們還可以看看DFT和myFFT的運行時間。為了不計繪圖，刪去DFT和myFFT的繪圖命令。通過Matlab命令窗口查看運行時間。（1）16（24）點采樣： tic。n=(0:15)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。DFT(16,xs)。toc。Elapsed time is seconds. tic。n=(0:15)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。myFFT(16,xs)。toc。Elapsed time is seconds.（2）2048（211）點采樣： tic。n=(0:2047)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。DFT(2048,xs)。toc。Elapsed time is seconds. tic。n=(0:2047)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。myFFT(2048,xs)。toc。Elapsed time is seconds.（3）8192（213）點采樣： tic。n=(0:8191)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。DFT(8192,xs)。toc。Elapsed time is seconds. tic。n=(0:8191)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。myFFT(8192,xs)。toc。Elapsed time is seconds.（4）65536（216）點采樣： tic。n=(0:65535)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。DFT(65536,xs)。toc。Elapsed time is seconds. tic。n=(0:65535)。xs=sin(*2*pi*n)+randn(size(n))。myFFT(65536,xs)。toc。Elapsed time is seconds.測試環境配置：Matlab 2013a，Windows 7 Professional，Intel GHz， G。可見，在采樣點數較小時，可能由于反復賦值、變址等運算，FFT算法的運行速度較慢。而在采樣點數較大時，FFT算法在速度上的優越性凸顯出來。例如在8192點采樣時，%；而在65536點采樣時，原始DFT算法運行時間達到了近37分鐘， s，%，優勢相當明顯。當然，由于myFFT是我自己編寫的，可能還有優化空間。如果由Matlab自帶的FFT函數進行運算，速度可能進一步提高。【附錄結束】第 27 頁共 27 頁

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