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高中數學高考復習導數及其應用-資料下載頁

2026-07-27 18:24本頁面

　　

【正文】知函數為超越函數，若求其最小值，則采用導數法，求出，解得，再判斷與時的符號，確定為極小值點，也是函數的最小值，對（Ⅱ）直接利用數學歸納法證明，但由到過渡是難點。　　解答：　　（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，1）　　　　　　令　　當時，f′(x)0, ∴f(x)在區間是減函數；　　當時，f′(x)0,　　 ∴f(x)在區間是增函數。　　∴f（x）在時取得最小值且最小值為　　(Ⅱ)用數學歸納法證明　　（i）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立；　　(ii)假定當n=k時命題成立，即若正數　　滿足 ,則　　當n=k+1時，若正數滿足　　令 , 　　則為正數，且　　由歸納假定知　　　　 ①　　同理，由 ,可得　　 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x).　　 ②　　綜合①、②兩式　　　　≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x)　　≥－(k+1).　　即當n=k+1時命題也成立。　　根據（i）、(ii)可知對一切正整數n命題成立。　　8 函數在區間內可導，導函數是減函數，且，設，是曲線在點處的切線方程，并設函數　　（Ⅰ）用、、表示m；　　（Ⅱ）證明：當時, 　　（Ⅲ）若關于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系。　　解答：　　（ I ）在點處的切線方程為　　即　　因而；　　(Ⅱ)證明：令，則　　因為遞減，所以遞增,因此，當時，；當時，，　　所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的最小值為0　　因此 0即；　　（Ⅲ）　　解法一：是不等式成立的必要條件，以下設此條件成立。　　，即對任意成立的充要條件是，　　另一方面，由于滿足前述題設中關于的條件，　　利用(Ⅱ)的結果可知，的充要條件是：過點與曲線相切的直線的斜率不大于，　　該切線的方程為：，　　于是的充要條件是　　綜上，不等式對任意成立的充要條件是　　　　　　　　 ①　　顯然，存在使①式成立的充要條件是：不等式　　　　 ②　　有解，解不等式②得　　　　　　　　 ③　　因此，③式即為的取值范圍，①式即為實數與所滿足的關系。　　（Ⅲ）　　解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立。　　，即對任意成立的充要條件是　　令，于是對任意成立的充要條件是。　　由得　　當時，；當時，，所以，當時，　　取最小值。因此成立的充要條件是，即　　綜上，不等式對任意成立的充要條件是　　 ①　　顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式　　　　　　　　　　 ②　　有解，解不等式②得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③　　因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數a與b所滿足的關系。　　點評：本題考查導數概念的幾何意義，函數極值、最值的判定以及靈活運用數形結合的思想判斷函數之間的關系，考查考生的學習能力，抽象思維能力，以及綜合運用數學基本關系解決問題的能力。對（Ⅰ），曲線在點處切線斜率為，切線方程為，　　即，因而；對（Ⅱ）即證明在時恒成立，構造函數則　　∵ 　　∴ 　　∴ ，則　　由遞減　　 ∴ 遞增，則當時，當時，，　　則是的極值點，且為極小值點，　　所以極小值為，即恒成立，　　　　因而；對（Ⅲ）有兩種思考方法，是該題難點，其求解過程比較詳細。　　9．設點和拋物線其中由以下方法得到：，點在拋物線上，點到的距離是到上點的最短距離，…，點在拋物線上，點到的距離是到上點的最短距離。　　（Ⅰ）求及的方程；　　（Ⅱ）證明是等差數列。　　解答：　　（Ⅰ）由題意得　　設點是上任一點　　則　　令　　則　　由題意得：　　即　　又在上，∴ 　　解得　　故方程為：　　（Ⅱ）設點是上任意一點。　　則　　　　令　　　　由題意得　　即　　又∵點在上　　∴ 　　∴ 　　即　　下面用數學歸納法證明：　　①當n=1時，，等式成立。　　②假設n=k時，等號成立，即　　則當n=k+1時，由（*）知：　　又　　∴ 　　即當n=k+1時，等式成立　　由①②知，等式成立　　∴ 是等差數列　　點評：　　（Ⅰ）設為上任一點　　∵ ，換句話說：在點處取得最小值。　　　　令　　∴ 此為關鍵　　（Ⅱ）方法同（Ⅰ）推導出：然后用數學歸納法證明。　　10. 已知函數　　（Ⅰ）求函數的反函數及的導數；　　（Ⅱ）假設對任意，　　不等式成立，求實數m的取值范圍。　　解答：　　（Ⅰ）解：由，得，　　所以　　　　（Ⅱ）　　解法1 由，得　　　　即對于恒有　　　　　　　　　　①　　設，于是不等式①化為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　　當，、時，　　，　　，　　所以都是增函數。　　因此當時，的最大值為的最小值為　　而不等式②成立當且僅當，即，　　于是得　　解法2：由，得　　，　　設，　　于是原不等式對于恒成立等價于　　　　　　　　 ③　　由，，　　注意到，故有，，　　從而可知與均在上單調遞增，　　因此不等式③成立當且僅當，即43

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