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高中數學有關導數的練習題-資料下載頁

2026-07-27 19:26本頁面

　　

【正文】時，恰有三個不同公共點．答案：(－2,2)9．將長為52 cm的鐵絲剪成2段，各圍成一個長與寬之比為2∶1及3∶2的矩形，那么面積之和的最小值為________．解析：設剪成2段中其中一段為x cm，另一段為(52－x) cm，依題意知：S＝＋＝x2＋(52－x)2，S′＝x－(52－x)，令S′＝0，則x＝27.另一段為52－27＝25.此時Smin＝78.答案：7810．(2010年合肥質檢)設函數f(x)＝lnx－2ax.(1)若函數y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線為直線l，且直線l與圓(x＋1)2＋y2＝1相切，求a的值；(2)當a0時，求函數f(x)的單調區間．解：(1)依題意有，f′(x)＝－2a.因此過(1，f(1))點的直線的斜率為1－2a，又f(1)＝－2a，所以，過(1，f(1))點的直線方程為y＋2a＝(1－2a)(x－1)．即(2a－1)x＋y＋1＝0又已知圓的圓心為(－1,0)，半徑為1，依題意，＝1，解得a＝.(2)依題知f(x)＝lnx－2ax的定義域為(0，＋∞)，又知f′(x)＝－2a因為a0，x0，令－2a0，則1－2ax0所以在x∈(0，)時，f(x)＝lnx－2ax是增函數；在x∈(，＋∞)時，f(x)＝lnx－2ax是減函數．11．已知函數f(x)＝x3－ax2＋b(a，b為實數，且a1)在區間[－1,1]上的最大值為1，最小值為－2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函數g(x)＝f(x)－mx在區間[－2,2]上為減函數，求實數m的取值范圍．解：(1)f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a，∵a1，∴f(x)在[－1,0]上為增函數，在[0,1]上為減函數．∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)f(1)，∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.∴f(x)＝x3－2x2＋1.(2)g(x)＝x3－2x2－mx＋1，g′(x)＝3x2－4x－m.由g(x)在[－2,2]上為減函數，知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．∴，即∴m≥20.∴實數m的取值范圍是m≥20.12．已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋ax.(1)當x＝0時，函數f(x)取得極大值，求實數a的值；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f′(x)≥2x成立，其中f′(x)為f(x)的導函數，求實數a的取值范圍；(3)求函數f(x)的單調區間．解：(1)f′(x)＝＋a由f′(0)＝0，得a＝－1，此時f′(x)＝－1.當x∈(－1,0)時，f′(x)0，函數f(x)在區間(－1,0)上單調遞增；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)0，函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減；∴函數f(x)在x＝0處取得極大值，故a＝－1.(2)∵f′(x)≥2x，∴＋a≥2x，∴a≥2x－.令g(x)＝2x－(1≤x≤2)，∴g′(x)＝2＋0，∴g(x)在[1,2]上是增函數，∴a≥g(1)＝.(3)f′(x)＝＋a.∵0，∴當a≥0時，f′(x)0，函數f(x)在(－1，＋∞)上是增函數．當a0時，令f′(x)＝0，x＝－－1；若x∈(－1，－－1)時，f′(x)0，若x∈(－－1，＋∞)時，f′(x)0；綜上，當a≥0時，函數f(x)遞增區間是(－1，＋∞)；當a0時，函數f(x)遞增區間是(－1，－－1)，遞減區間是(－－1，＋∞)．學科網學海泛舟系列資料版權所有@學科

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