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高中數學北師大版選修2-1第三章22拋物線的簡單性質-資料下載頁

2025-11-08 23:19本頁面

【導讀】問題1：拋物線有幾個焦點？問題2：拋物線的頂點與橢圓有什么不同？1．拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心；3．拋物線的離心率是確定的，e＝1；它們的交點也關于x軸對稱，即公共弦被x軸垂直平分，于是由弦長等于23，可知交點縱坐標為±3.[一點通]由拋物線的性質求拋物線的標準方程時，關鍵是確定拋物線的焦點位置，并結合其性質求解p的值，時，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.由對稱性知拋物線方程為y2＝－8x，解析：由題意，即點P到距離與它到y＝1距離相等，

　　

【正文】 ( 12 分 ) [一點通 ] (1) ．涉及拋物線的焦半徑、焦點弦長問題可以優先考慮利用定義將點到焦點的距離轉化為點到準線的距離． (2) ．設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，若 AB是拋物線 y2＝2px(p0)過焦點 F的一條弦，則 ① |AB|＝ x1＋ x2＋ p， ② x 1 x 2 ＝ p24 ， y 1 y 2 ＝－ p2 . 6．過拋物線 y2＝ 4x的焦點作直線交拋物線于 A(x1， y1)B(x2， y2)兩點，若 x1＋ x2＝ 6，則 |AB|的值為 ( ) A． 10 B． 8 C． 6 D． 4 解析： ∵ y2＝ 4x， ∴ 2p＝ 4， p＝ 2. ∴ 由拋物線定義知： |AF|＝ x1＋ 1， |BF|＝ x2＋ 1， ∴ |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ x1＋ x2＋ 2＝ 6＋ 2＝ 8. 答案： B 7． (2020山東高考改編 )已知拋物線 y2＝ 2px(p＞ 0)，過其焦點且斜率為 1的直線交拋物線于 A、 B兩點，若線段 AB的中點的縱坐標為 2，則該拋物線的標準方程為 ________．解析：設點 A(x1， y1)，點 B(x2， y2)．過焦點 F(， 0)且斜率為 1的直線方程為 y＝ x－，與拋物線方程聯立可得 y2－2py－ p2＝ 0. 由線段 AB的中點的縱坐標為 2，得 y1＋ y2＝ 2p＝ 4. 所以 p＝ 2，故拋物線標準方程為 y2＝ 4x. 答案： y2＝ 4x p2 1 ．拋物線 y2＝ 2 px 上的點 P ( x0， y0) 到焦點 F 的距離 ( 焦半徑 ) ： | PF |＝ x0＋p2. 2 ．若過拋物線 y2＝ 2 px 的焦點的直線與拋物線相交于A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) 兩點，則 | AB |＝ x1＋ x2＋ p ( 焦點弦公式 ) ．當AB ⊥ x 軸時， AB 為通徑且 | AB |＝ 2 p . 3 ．解決與焦點弦有關的問題：一是注意運用焦點弦所在直線方程和拋物線方程聯立方程組，再結合根與系數的關系解題；二是注意焦點弦、焦半徑公式的應用，注意整體思想的運用．點擊下圖進入“應用創新演練”

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