三角函數的圖像與性質知識點及習題-資料下載頁

【導讀】x＝kπ(k∈Z)___；單調減區間[2kπ＋π2，周期性是函數的整體性質，要求對于函數整個定義域范圍的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f，函數y＝Asin和y＝Acos的最小正周期為2π|ω|，叫做y＝sinx，y＝cosx的上確界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下確界.調性寫出函數的值域；含參數的最值問題，要討論參數對最值的影響.利用換元法求三角函數最值時注意三角函數有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯誤.2x－π4；y＝sin????x＋π3，x∈R()．。∴當k＝0時，x＝π12，選D.解析∵y＝sinx的對稱中心為(k∈Z)，∴令x－π4＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋π4(k∈Z)，由k. 9．函數y＝2＋1，當sinx＝1時，y取最大值；當sinx＝a時，y取最小值，則實數。利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0<OM≤1，∴OM只能在x軸的正半軸上，要使函數有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象.在同一坐標系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示.

　　

【正文】 Z)， ∴ x0＝ kπ4－ π16 (k∈ Z). 由 0≤ kπ4 － π16≤ π2 (k∈ Z)得 k＝ 1 或 2， 因此點 A 的坐標為 ?? ??316π， 12 ， ?? ??716π， 12 . 三角函數的圖象與性質 練習四 一、選擇題 1．函數 f(x)＝ 2sin xcos x 是 ( )． A．最小正周期為 2 π的奇函數 B．最小正周期為 2 π的偶函數 C．最小正周期為 π的奇函數 D．最小正周期為 π的偶函數 解析 f(x)＝ 2sin xcos x＝ sin 2x.∴ f(x)是最小正周期為 π的奇函數． 答案 C 2．函數 y＝ sin2x＋ sin x－ 1 的值域為 ( )． A． [－ 1,1] B.?? ??－ 54，－ 1 C.?? ??－ 54， 1 D.?? ??－ 1， 54 解析 (數形結合法 )y＝ sin2x＋ sin x－ 1，令 sin x＝ t，則有 y＝ t2＋ t－ 1， t∈ [－ 1,1]，畫出函數圖象如圖所示，從圖象可以看出，當 t＝－ 12及 t＝ 1 時， 函數取最值，代入 y＝ t2＋ t－ 1 可得 y∈ ?? ??－ 54， 1 . 答案 C 3．若函數 f(x)＝ sin ωx(ω＞ 0)在區間 ?? ??0， π3 上單調遞增，在區間 ?? ??π3， π2 上單調遞減，則 ω＝ ( )． C． 2 D． 3 解析 由題意知 f(x)的一條對稱軸為 x＝ π3，和它相鄰的一個對稱中心為原點，則 f(x)的周期 T＝ 4π3 ，從而 ω＝ 32. 答案 B 4．函數 f(x)＝ (1＋ 3tan x)cos x 的最小正周期為 ( )． A． 2π C． π 解析 依題意，得 f(x)＝ cos x＋ 3sin x＝ 2sin?? ??x＋ π6 .故最小正周期為 2π. 答案 A 5．下列函數中，周期為 π，且在 ?? ??π4， π2 上為減函數的是 ( )． A． y＝ sin?? ??2x＋ π2 B． y＝ cos?? ??2x＋ π2 C． y＝ sin?? ??x＋ π2 D． y＝ cos?? ??x＋ π2 解析 (篩選法 )∵ 函數的周期為 π.∴ 排除 C、 D， ∵ 函數在 ??? ???π4， π2 上是減函數， ∴ 排除 B. 答案 A 【點評】 本題采用了篩選法，體現了篩選法的方便、快捷、準確性，在解選擇題時應注意應用 . 6．已知函數 f(x)＝ sin?? ??x－ π2 (x∈ R)，下面結論錯誤的是 ( )． A．函數 f(x)的最小正周期為 2π B．函數 f(x)在區間 ?? ??0， π2 上是增函數 C．函數 f(x)的 圖象關于直線 x＝ 0 對稱 D．函數 f(x)是奇函數 解析 ∵ y＝ sin??? ???x－ π2 ＝－ cos x， ∴ T＝ 2π，在 ??? ???0， π2 上是增函數，圖象關于 y 軸對稱，為偶函數． 答案 D 二、 填空題 =－ |sin（ x+ 4π ） |的單調增區間為 ___［ kπ+π4 ， kπ+3π4 ］（ k∈ Z） _____. ?????? ?? 42cos3 ?xy的圖象，可以將函數 y = 3 sin2 x 的圖象向左平移 _8? __單位 . xa? 與函數 ( ) sinf x x? 和 ( ) cosg x x? 的圖像分別交于 MN， 兩點，則 MN 的最大值為 ____ 2 ____. 10 函數 f(x)= sin 13 2 co s 2 sinxxx???(02x ??? ) 的值域是 _____[1,0]___ __. ( ) sin ( 0)3 6 3f x x f f??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，且 ()fx在區間63????????，有最小值，無最大值，則 ? ＝ __________． 143 1 給出下面的 3個命題：（ 1）函數 |)32sin(| ??? xy的最小正周期是2?；（ 2）函數 )23sin( ??? xy在區間 )23,[ ??上單調遞增；（ 3）45??x是函數 )252sin( ??? xy的圖象的一條對稱軸 .其中正確命題的序號是 ． 13．若函數 f(x)＝ cos ωxcos?? ??π2－ ωx (ω＞ 0)的最小正周期為 π，則 ω 的值為 ________． 解析 f(x)＝ cos ωxcos??? ???π2－ ωx ＝ cos ωxsin ωx＝ 12sin 2ωx， ∴ T＝ 2π2ω＝ π.∴ ω＝ 1. 答案 1 14．函數 y＝ tan?? ??2x＋ π4 的圖象與 x 軸交點的坐標是 ______． 解析 由 2x＋ π4＝ kπ， k∈ Z，得： x＝ kπ2 － π8， k∈ Z， 故交點坐標為 ??? ???kπ2 － π8， 0 (k∈ Z)． 答案 ??? ???kπ2 － π8， 0 (k∈ Z) 15．已知函數 f(x)＝ sin(x＋ θ)＋ 3cos(x＋ θ)?? ??θ∈ ?? ??－ π2， π2 是偶函數，則 θ 的值為 ________． 解析 (回顧檢驗法 )據已知可得 f(x)＝ 2sin??? ???x＋ θ＋ π3 ，若函數為偶函數，則必有 θ＋ π3＝ kπ＋ π2(k∈ Z)，又由于 θ∈ ??? ???－ π2， π2 ，故有 θ＋ π3＝ π2，解得 θ＝ π6，經代入檢驗符合題意． 答案 π6 三、解答題 16．已知 f(x)＝ sin x＋ sin?? ??π2－ x . (1)若 α∈ [0， π]，且 sin 2α＝ 13，求 f(α)的值； (2)若 x∈ [0， π]，求 f(x)的單調遞增區間． 解 (1)由題設知 f(α)＝ sin α＋ cos α. ∵ sin 2α＝ 13＝ 2sin αcos α＞ 0， α∈ [0， π]， ∴ α∈ ?? ??0， π2 ， sin α＋ cos α＞ 0. 由 (sin α＋ cos α)2＝ 1＋ 2sin αcos α＝ 43，得 sin α＋ cos α＝ 23 3， ∴ f(α)＝ 23 3. (2)由 (1)知 f(x)＝ 2sin?? ??x＋ π4 ，又 0≤x≤π， ∴ f(x)的單調遞增區間為 ?? ??0， π4 . 17．設函數 f(x)＝ sin(2x＋ φ)(－ π＜ φ＜ 0)， y＝ f(x)圖象的一條對稱軸是直線 x＝ π8. (1)求 φ； (2)求函數 y＝ f(x)的單調增區間． 解 (1)令 2π8＋ φ＝ kπ＋ π2， k∈ Z， ∴ φ＝ kπ＋ π4， k∈ Z， 又－ π＜ φ＜ 0，則－ 54＜ k＜－ 14， k∈ Z， ∴ k＝－ 1，則 φ＝－ 3π4 . (2)由 (1)得： f(x)＝ sin?? ??2x－ 3π4 ， 令－ π2＋ 2kπ≤2x－ 3π4 ≤π2＋ 2kπ， k∈ Z，可解得 π8＋ kπ≤x≤5π8 ＋ kπ， k∈ Z， 因此 y＝ f(x)的單調增區間為 ?? ??π8＋ kπ， 5π8 ＋ kπ ， k∈ Z. 1設函數 2( ) si n( ) 2 c os 14 6 8xxfx ? ? ?? ? ? ?．（ 1）求 ()fx的最小正周期． （ 2）若函數 ()y g x? 與 ()y f x? 的圖像關于直線 1x? 對稱，求當 4[0, ]3x? 時 ()y g x? 的最大值． 解：（ Ⅰ ） ()fx= si n c os c os si n c os4 6 4 6 4x x x? ? ? ? ??? = 33sin c os2 4 2 4xx??? = 3 sin( )43x??? 故 ()fx的最小正周期為 T = 24?? =8 (Ⅱ )解法一： 在 ()y g x? 的圖象上任取一點 ( , ( ))x g x ，它關于 1x? 的對稱點 (2 , ( ))x g x? . 由題設條件，點 (2 , ( ))x g x? 在 ()y f x? 的圖象上，從而 ( ) ( 2 ) 3 sin[ ( 2 ) ]43g x f x x??? ? ? ? ? = 3 si n[ ]2 4 3x? ? ??? = 3 cos( )43x??? 當 30 4x?? 時， 23 4 3 3x? ? ? ?? ? ? ，因此 ()y g x? 在區間 4[0,]3 上的最大值為 m a x 33 c os 32g ??? 解法二： 因區間 4[0,]3關于 x = 1 的對稱區間為 2[ ,2]3，且 ()y g x? 與 ()y f x? 的圖象關于 x = 1 對稱，故 ()y g x? 在 4[0,]3上的最大值為 ()y f x? 在 2[ ,2]3上的最大值 由（ Ⅰ ）知 ()fx＝ 3 sin( )43x???當 2 23 x??時，6 4 3 6? ? ? ?? ? ? ? 因此 ()y g x? 在 4[0,]3上的最大值為m a x 33 sin 62g ??? . 1設函數 ()fx?ab ，其 中向量 ( cos2 )mx? ，a ， (1 sin 2 1)x?? ，b ， x?R ，且 ()y f x? 的圖象經過點 π24??????，． （ 1）求實數 m 的值； （ 2）求函數 ()fx的最小值及此時 x 值的集合． (3)求函數的單調區間； (4)函數圖象沿向量 c 平移得到 xy 2sin2? 的圖象 ,求向量 c 。 1 （ 1） 1?m （ 2） 21,83m i n ????? yZkkx ）時（?? (3) ))(,85,8,8,83( Zkkkkk ??????? ???????? ?? ???????? 減區間：增區間： (4) )1,8( ?? ?c 設函數 ? ? ? ?sin 0 ,22f x x ??? ? ? ???? ? ? ? ? ?????，給出下列三個論斷： ① ??fx的圖象關于直線 6x ??? 對稱； ② ??fx的周期為 ? ； ③ ??fx的圖象關于點 ,012???????對稱． 以其中的兩個論斷為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題，并對該命題加以證明． ????① ③② 或 ????① ②③ ， ????② ①③ 證明略