初三數(shù)學(xué)知識點總結(jié)和歸納-資料下載頁

　　

【正文】 邊上的兩個角稱為底角。等腰三角形的主要性質(zhì) 兩底角相等。如圖，ΔABC中AB＝AC，取BC中點D，連結(jié)AD，容易證明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。如圖，ΔABC中為等邊三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180176。，∴∠A＝∠B＝∠C＝60176。如圖，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180176。，∴∠ADB＝90176。，從而AD⊥BC，由此又可得到另外兩個重要推論。兩個重要推論等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊； 等邊三角形各內(nèi)角相等，且都等于60176。等腰三角形性質(zhì)及其推論的另一種論述方法 三角形中，相等的邊所對的角相等。等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一。等腰三角形的判定定理及其兩個推論的核心都可概括為等角對等邊。它們都是證明兩條線段相等的重要方法。推論3 在直角三角形中，如果一個銳角等于30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。容易證明：這個推論的逆命題也是正確的。即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30176。運用利用等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理容易證明結(jié)論：“在一個三角形內(nèi)，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角也較大；反過來，在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大。” 對稱軸及中心線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分。線段的中點就是它的中心，今后要學(xué)習(xí)“線段是關(guān)于中點對稱的中心圖形”。線段是以它的中垂線為對稱軸的圖形。三線合一的定理的逆定理如圖所示，線段中垂線的性質(zhì)定理的幾何語言為：，于是可以用來判定等腰三角形，其定理實質(zhì)上是 三線合一定理的逆定理。“距離”不同，“心”也不同“線段垂直平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“兩點間的距離”，而角平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“點到直線的距離”。三角形三條角平分線相交于一點，這點到三邊的距離相等(這點稱為三角形的內(nèi)心)。三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三個頂點的距離相等(這點稱為三角形的外心)。重要的軌跡圖(A）所示。到角的兩邊OA、OB的距 離相等的點PP2，P3…組成一條射 線OP，即點的集合。如圖(B)所示，到線段AB的兩端點的距離 相等的所有點PPP3…組成一條直 線P1P2，因此這條直線可以看成動點形 成的“軌跡”。第十三節(jié)軸線稱和軸對稱圖形 軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做關(guān)于這條直線對稱，也稱軸對稱。根據(jù)定義，兩個圖形和如果關(guān)于直線l軸對稱，則：（1）和這兩個圖形的大小及形狀完全相同。（2）把其中一個圖形沿l翻折后，和應(yīng)完全重合，自然兩個圖形中的有關(guān)對應(yīng)點也應(yīng)重合。事實上，直線l是兩個軸對稱圖形中對應(yīng)點連線的垂直平分線。所以容易得到如下性質(zhì)： 性質(zhì)1 關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。性質(zhì)2 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。性質(zhì)3 兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點必在對稱軸上。不難看出，如果兩個圖形的對應(yīng)點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。軸對稱圖形如果一個圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別①軸對稱是指兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，而軸對稱圖形是一個圖形關(guān)于某條直線對稱。②軸對稱的對應(yīng)點分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形中的對應(yīng)點都在這一個圖形上。③軸對稱中的對稱軸可能在兩個圖形的外邊，而軸對稱圖形中的對稱軸一定過這個圖形。聯(lián)系①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合。②如果把軸對稱的兩個圖形看成是一個整體，那么這個整體反映出的圖形便是一個 軸對稱圖形；反過來，如果把一個軸對稱圖形中關(guān)于對稱軸的兩邊部分看成是兩個 圖形，那么這兩部分對應(yīng)的兩個圖形則關(guān)于這條對稱軸而成軸對稱。第十四節(jié) 勾股定理直角三角形直角三角形中，兩銳角互余，夾直角的兩邊叫直角邊，直角的對邊叫斜邊，斜邊最長。等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的兩個底角都等于45176。，頂角等于90176。，相等的兩條直角邊是腰。勾股定理直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即，這就是勾股定理。判定直角三角形如果ΔABC的三邊長為a、b、c，且滿足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90176。第十五節(jié)勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC為Rt△。如何判定一個三角形是否是直角三角形 首先求出最大邊（如c）。驗證c2與a2＋b2是否具有相等關(guān)系。若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C＝90176。的直角三角形。若c2≠a2＋b2，則△ABC不是直角三角形。********************** *****攻關(guān)秘技**** 方法1： 證明“文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}”的方法這類題目證明起來較一般幾何題要難，但還是有一定的思路和方法，一般先對題目進(jìn)行總體分析，分析內(nèi)容大致分為以下四點，然后逐步解決。（1）分析命題的題設(shè)和結(jié)論；（2）結(jié)合題設(shè)和結(jié)論畫出圖形；（3）綜合題設(shè)結(jié)論和圖形寫出已知、求證；（4）進(jìn)行證題分析。方法2： 等腰三角形的邊角求值法在解等腰三角形的邊角求值題時，應(yīng)考慮到各種可能的情況，還要排除不能構(gòu)成三角形的情形。特別在解決線段或角的和差倍半關(guān)系時，常利用合成法或分解法，借助添加輔助線來完成。方法3： 判定一個三角形是直角三角形的方法判定一個直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線性質(zhì)或直角三角形的定義等，這些方法都要求掌握并能靈活運用。方法4： 作圖題幾何作圖題的每一步都必須有根有據(jù)，所以就要求我們掌握好已學(xué)過的公理、定理等。要掌握好尺規(guī)作圖，還要多畫多練。知識點： 全等三角形的判定與性質(zhì)方法： 分析法能力： 分析與解決問題的能力難度： 中等知識點： 全等三角形；角平分線方法： 合成法；分解法能力： 分析與解決問題的能力；邏輯推理能力難度： 中等偏難知識點： 等腰直角三角形的性質(zhì)；線段的垂直平分線性質(zhì)；勾股定理方法： 綜合法能力： 分析與解決問題的能力難度： 中等偏難知識點： 線段的性質(zhì)方法： 數(shù)形結(jié)合法能力： 空間想象能力；分析與解決問題的能力難度： 中等偏難專題1： 一題多問、一題多圖和多題一解提高分析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的，而認(rèn)真的設(shè)計課本中例題、習(xí)題的變式，挖掘其潛能也是方法之一。課本中的例題、習(xí)題為中考命題提供了豐富的源泉，它們具有豐富的內(nèi)涵，在由知識轉(zhuǎn)化為能力上具有示范性和啟發(fā)性，在解題思路和方法上具有典型性和代表性。如果我們不以得到解答為滿足，而是在解完之后，深入其中作進(jìn)一步的挖掘和多方位探索，不僅可得到一系列的新命題，也可從“題海”中解脫出來，達(dá)到事半功倍的效果。而且通過不同角度、不同方位去思考問題，探索不同的解答方案，從而拓寬了思路，培養(yǎng)了思維的靈活性和應(yīng)變能力。專題2： 利用擴(kuò)、剖、串、改提高解題能力學(xué)習(xí)幾何時，感到例題好學(xué)易懂，但對稍加變化拓寬引申的問題束手無策，原因是把例題的學(xué)習(xí)看成是孤立的學(xué)一道題，學(xué)完就了事，致使解題時缺乏應(yīng)變能力，但如果平時能重視對題目的擴(kuò)充、剖解、串聯(lián)和改編，就能較好地解決這一問題。1．?dāng)U充：將原題條件拓展，使結(jié)論更加豐富充分。2．剖解：分析原題，將較復(fù)雜的圖形肢解為若干個基本圖形，使問題化隱為顯。3．串聯(lián)：由例題的形式（條件、結(jié)論等），聯(lián)想與它相似、相近、相反的問題。4．改編：改變原題的條件形式，探索結(jié)論是否成立？專題3： 分析、綜合、輔助線我們研究不等式的有關(guān)問題時，會發(fā)現(xiàn)很多巧妙的方法，還會不斷學(xué)習(xí)掌握類比的數(shù)學(xué)思想，形數(shù)結(jié)合的思想，從未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想，通過研究這些不斷變化的問題，全面把握不等式及不等式組的解法，從而提高我們分析問題、解決問題的能力。專題4： 不等式的若干應(yīng)用在平面幾何里，證題思路主要有：（1）分析法，即從結(jié)論入手，逐步逆推，直至達(dá)到已知事實后為止。（2）綜合法，先從已知條件入手，運用已學(xué)過的公式、定理、性質(zhì)等推出證明的結(jié)論。（3）兩頭湊，就是將綜合法和分析法有機(jī)地結(jié)合起來思考：一方面“從已知推可知”，從已知看可以推出哪些結(jié)論；另一方面“由未知看需知”，從所求結(jié)論逆推看需要什么條件，一旦可知與需知溝通，證題思路即有了。添加輔助線是證明幾何題的重要手段，也是學(xué)習(xí)中的難點之一。專題5： 幾何證題的基本方法有兩種：一種是從條件出發(fā)，通過一系列已確立的命題逐步向前推演，直到達(dá)到證題目的，簡言之，這是由因?qū)Ч姆椒ǎ覀兎Q之為直接證法或綜合法，綜合法證題的程序如下：欲證AB，由于AC，CD，…，x，而xB，先假定命題的結(jié)論成立，考慮達(dá)到目的需具備什么條件，通過一系列的逆推直到回朔到已知條件為止。簡言之，這是執(zhí)果索因的方法，我們稱之為分析法，分析法證題的程序如下：欲證“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，則斷言BA，也就是AB。在實際操作上，往往把這兩種方法結(jié)合起來，先分析探求鋪路，再綜合解題成功，簡言之就是“倒著推，順著走”。—平移、旋轉(zhuǎn)、對稱在幾何證題中，常需要將一個圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，常見的幾何變換有全等變換，等積變換和相似變換。本章只講全等變換，也就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。常見的全等變換的形式有三：1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個圖形平行移動到某一適當(dāng)位置，作出輔助圖形，使問題得到解決。平移的基本特點是：任一線段在平移過 程中，其長度保持不變。2．旋轉(zhuǎn)：將平面圖形繞平面內(nèi)一定點M旋轉(zhuǎn)一個定角α得到與原來形狀和大小相同的圖形，這樣 的變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，α角叫旋 轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)：（1）變換后的圖形與原圖形全等；（2）原圖中任一線段與旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。3．對稱：將一個圖形（或它的一部分）繞著一條直線翻轉(zhuǎn)180176。，得一個與原來形狀、大小完全相同的圖形，這種變換稱為軸對稱變換，軸對稱變換的主要特點是：對稱軸是一切翻轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點連線的垂直平分線。除軸對稱外，還有中心對稱，這一點我們將在下一章四邊形中講到。方法總結(jié)：復(fù)雜的圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形這樣使問題顯而易見。當(dāng)直接證題有困難時，常通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形以達(dá)到解題的目的。綜合法是從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法。分析法是從結(jié)論出發(fā)，用倒推來尋找證明思路的方法。兩頭“湊”的方法，也就是綜合運用以上兩種方法才能找到證明思路。（又叫分析――綜合法）。轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、分解為簡單的問題；或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想。