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蘇教版選修2-2高中數學131導數在研究函數中的應用第1課時同步檢測-資料下載頁

2025-11-26 09:29本頁面

【導讀】如果在某個區間內，函數y＝f的導數________，則函數y＝f這個區間上是增函數；3．函數f＝xcosx的導函數f′在區間[－π，π]上的圖象大致是________．(填序號). 12．已知函數f＝x3－ax－1.若f在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；是否存在實數a，使f在上單調遞減？解析f′＝2－1x＝2x－1x，由f′＝1可排除③、④.從而觀察圖象即可得到答案為①.由x>12得1x<2，要使a≥1x恒成立，只需a≥2.又－1≤cosx≤1，∴a≥1.10．解∵函數f的導函數f′＝3x2＋2bx＋c，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的兩個實根，∴－1＋2＝－23b，(－1)×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.∴方程f′＝3ax2＋1＝0有兩個不等的實根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.11．解由題意知f的定義域為，因為f在上是單調增函數，

　　

【正文】 a＋ 12a 時， f′ (x)0 ；當 x∈ ??? ??? － a＋ 12a ，＋ ∞ 時， f′ (x)0. 故 f(x)在 ??? ???0，－ a＋ 12a 上單調遞增，在 ??? ??? － a＋ 12a ，＋ ∞ 上單調遞減．綜上，當 a≥ 0 時， f(x)在 (0，＋ ∞ )上單調遞增；當 a≤ － 1 時， f(x)在 (0，＋ ∞ )上單調遞減；當－ 1a0 時， f(x)在 ??? ???0，－ a＋ 12a 上單調遞增，在 ??? ??? － a＋ 12a ，＋ ∞ 上單調遞減． 12．解 (1)由已知，得 f′ (x)＝ 3x2－ a. 因為 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是單調增函數，所以 f′ (x)＝ 3x2－ a≥ 0在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上恒成立，即 a≤ 3x2 對 x∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )恒成立．因為 3x2≥ 0，所以只需 a≤ 0. 又 a＝ 0 時， f′ (x)＝ 3x2≥ 0， f(x)在實數集 R 上單調遞增，所以 a≤ 0. [來源 :Zxx k .Co m] (2)假設 f′ (x)＝ 3x2－ a≤ 0 在 (－ 1,1)上恒成立，則 a≥ 3x2 在 x∈ (－ 1,1)時恒成立．因為－ 1x1，所以 3x23，所以只需 a≥ 3. 當 a＝ 3 時，在 x∈ (－ 1,1)上， f′ (x)＝ 3(x2 － 1)0，即 f(x)在 (－ 1,1)上為減函數，所以 a≥ 3. 故存在實數 a≥ 3，使 f(x)在 (－ 1,1)上單調遞減．

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