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構造函數,結合導數證明不等式-資料下載頁

2025-10-19 05:32本頁面

　　

【正文】 (x)179。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0 abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36 632abc構造函數證明不等式利用函數的單調性+例巳知a、b、c∈R，且a求證： a+ma b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證之，思路則更為清新。a+x+，其中x∈R，0b+xb+abaf（x）==1b+xb+x證明：令 f（x）=∵ba0ba+ 在R上為減函數 b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數 b+x∴y=∵m0∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構造函數，運用函數的單調性證明，問題將迎刃而解。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數（證略）1+x而0得f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數f(x)是增函數還是減函數，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數的單調性。利用函數的值域例若x為任意實數，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯想到函數的值域，于是構造函數f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。1+x222x2證明：設 y=，則yxx+y=0 21+x∵x為任意實數22∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0411得：—≤y≤ 221x1∴—≤≤ 21+x22∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數的定義域。另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數更簡單。例求證：必存在常數a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數，視參數為變元的函數，然后根據變元函數的值域來求解a，從而說明常數a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222lgx+lgy）2lgxlgy令 f(x)= == +222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy22而 lgx0,lgy0,∴lgx+lgy ≥ 2lgxlgy 0∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。運用函數的奇偶性xx2xx 證明：設f（x）=(x≠0)x122 例證明不等式：xxx2xx∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+12x2xx=x+= f(x)x122=∴f(x)的圖象關于y軸對稱x∵當x0時，12當x故當 x≠0時,恒有f(x)即：xx[小結]本題運用了比較法，實質是根據函數的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數的軸對稱性和奇函數的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論。

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