高三數學專題復習——數列不等式(放縮法)-資料下載頁

　　

【正文】 得證。5．已知數列{an}中an=iinnn21，求證：229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。22ii1.(i179。2)n\229。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數歸證\229。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉化為證明加強命題）已知函數f(x)=ln(1+x)x，數列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x；（2）求數列{an}的通項公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。(x)=11+x1=x1+x，當1x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調遞增函數；當x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調遞減函數．所以f39。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。f(0)=0222。ln(1+x)163。x，當x=0時取到等號．（2）法1：數學歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數列237。236。252。1=2，公差為1，是等差數列，首項為253。a11238。an1254。nn+1∴an1=n1222。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。230。1=n231。++L+247。23n+1n+1232。248。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1232。20，則1246。n+2230。ln231。1+=ln 247。n+1n+1248。n+1232。1∴n231。+3+L+345n+1n+2246。246。230。nln+ln+ln+L+ln+ln247。231。247。 n+1248。234nn+1232。248。n+2246。n+2=nl=n+247。n+1248。2=n231。ln180。232。230。343180。L180。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數學歸納法 法3：函數法（求導），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第五篇：放縮法(不等式、數列綜合應用)“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性?！胺趴s法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。添加或舍棄一些正項（或負項）例已知an=2n1(n206。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。N*).23a2a3an+1ak2k11111111證明： Q=k+1==179。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232k\aa1a2n1111n11n1++...+n179。(+2+...+n)=(1n), a2a3an+12322223223an1aan\1+2+...+n(n206。N*).23a2a3an+12若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，、先放縮再求和（或先求和再放縮）例函數f（x）=4x1+4xk，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）n+12n+11(n206。N*).2證明：由f(n)= 4n1+4n=1111 1+4n22n2211得f（1）+f（2）+…+f（n）1+11222+L+1122n 11111=n(1+++L+n1)=n+n+1(n206。N*).424222此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）k例已知an=n，求證：∑＜3．k=1akn證明：∑k=1nn2ak∑k=1n＜1＋∑k=2n(k－1)k(k＋1)=1+k=2n＜１＋∑k=2(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k－1)=1＋ ∑（k=2n－)(k－1)(k＋1)=1＋1＋＜2＋＜3．(n＋1)22本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，、放大或縮小“因式”；n1例已知數列{an}滿足an+1=a,0a1163。,求證：229。(akak+1)ak+2.232k=1n證明 Q0a1163。n11112,an+1=an,\a2=a12163。,a3163。L.\當k179。1時,0ak+2163。a3163。, 241616\229。(akak+1)ak+2k=11n11163。229。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過對因式ak+2放大，而得到一個容易求和的式子逐項放大或縮小229。(ak=1nkak+1)，(n+1)(n+1)2an例設an=180。2+2180。3+3180。4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。固定一部分項，放縮另外的項；例求證：11117+++L+ 122232n24證明：Q1=n2n(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().122232n22223n1n42n4此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。利用基本不等式放縮例已知an=5n41對任何正整數m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因為 amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因為am+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m…(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對于整數k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=mn，mCn＞nCm，…，mmm+1m+1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在于根據問題的特征選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反的現象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.