不等式證明-資料下載頁

　　

【正文】 b2+c3179。2bc,c2+a2179。2ca；：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、++L+179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。（2）基本不等式有各種變式如(，：不等式左邊是a、b的4次式，+b179。1，如何也轉化為a、b的4次811,即證a4+b4179。(a+b)：（1）+x2+x3=1,xi179。0,求證：x1 +x211133求證：x1x2+x2x3 +x3179。.右側的可理解為(x1+x2+x3).再如已知x1+x2+x3=0，3332+x3x1163。0，此處可以把0理解為(x1+x2+x3)，（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數a1,a2,Lan)調和平均Hn=n111++L+a1a2an 幾何平均Gn=na1a2Lan 算術平均An=a1+a2+L+ann22a12+a2+L+an平方平均Qn=2這四個平均值有以下關系：Hn163。Gn163。An163。Qn，其中等號當且僅當a1=a2=L=: 令bi=ai,(i=1,2,L,n)則b1b2Lbn=1，故可取x1,x2,Lxn0，使得 Gnb1=xxx1x,b2=2,L,bn1=n1,bn=n由排序不等式有： x2x3xnx1b1+b2+L+bn=xx1x2++L+n（亂序和）x2x3x1111+x2+L+xn（逆序和）x1x2xn 179。x1=n，\aa+a2+L+ana1a2++L+n179。n,即1179。，L,各數利用算術平均大于等于幾何平均即可得，Gn163。 評述::原不等式等價于n+1(1+)1+平均，+11nn1，故可設法使其左邊轉化為n個數的幾何n+111111n+21(1+)n=(1+)L(1+)1(1+)L(1+)+1==1+.n+1nnnnnn+1n+114424431442443n個n+1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，(1+1n+11n+2)(1+).nn+1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，:先證左邊不等式111++L+219。(1+n)123n1111+++L++n123n 219。(1+n)nn111(1+1)+(+1)+(+1)+L+(+1)123n 219。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。n1+n(*)nn[(1+n)1]1+2+1n1n1+111++L+23nn 34n+1++L+23nn2+3+4+L+n+1=nn+ \（*）式成立，1111+++L+n(n1)nn123n1 219。n1n1n(1+111111++L+)(1)+(1)+L+(1)23n219。n1123n n1nn112n1++L+123n（**）219。 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.第五篇：不等式證明不等式證明：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法（1）作差比較：①理論依據ab0ab。ab=0a=b。aba⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）作商法：①要證AB(B0),只要證。要證A0)，只要證②證明步驟：作商→變形→判斷與1的關系 常用變形方法：一是配方法，二是分解因式：所謂綜合法，就是從題設條件和已經證明過的基本不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因導果。常見的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2+b2179。2ab，a+b179。ab 2，ab163。a+b163。a+b 分析法：從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執果索因”：即從求證的不等式出發，探求使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法單純地應用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進行探索，把分析與綜合結合起來，形成分析綜合法。反證法：先假設所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式MN，由題設及其他性質，推出矛盾，從而否定假設，肯定M具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數的單調性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項或負項；在和或積中換大（或換小）某些項；擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等，放縮時要注意不等號的一致性。放縮法的方法有：⑴添加或舍去一些項，如：a2+1a；n(n+1)n ⑵將分子或分母放大（或縮小）⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(n+(n+1)2⑷利用常用結論： n(n+1)lg3+lg5)=lg15lg16=lg4 2Ⅰ、k+1k=1k+1+k12k；Ⅱ、1111； =k2k(k1)k1k1111（程度大）=2k(k+1)kk+1kⅢ、12k11111==()；（程度小）2k1(k1)(k+1)2k1k+17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如： 已知x2+y2=a2，可設x=acosq,y=asinq； 已知x2+y2163。1，可設x=rcosq,y=rsinq(0163。r163。1)；x2y2已知2+2=1，可設x=acosq,y=bsinq；abx2y2已知22=1，可設x=asecq,y=btanq；ab判別式法：判別式法是根據已知或構造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數的根、解集、函數的性質等特征確定出其判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。其它方法 最值法：恒成立恒成立構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；