不等式的證明-資料下載頁

　　

【正文】 等式有各種變式如(，≡8(mod37),∴888833332222≡8(mod37).222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|3+77773333≡(8+7)(mod37),而:原方程變形為3x(3y+7)x+3y7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(nm).∵l為質數,且n+m＞nm＞0,∴n+m=l,nm==n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)≠q,不妨設p＞(4mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程例題答案：：Qab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc=a(b2+c22bc)+b(a2+c22ac)+c(a2+b22ab)=a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2179。0\ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，+b2+c2179。ab+bc+ca時，可將a2+b21(ab+bc+ca)配方為[(ab)2+(bc)2+(ca)2]，亦可利用a2+b2179。2ab，2b2+c2179。2bc,c2+a2179。2ca，3式相加證明.（2）：顯然不等式兩邊為正，且是指數式，,b,c對稱，不妨a179。b179。c,則ab,bc,ac206。R+，且ab,，(abc)a+b+c3=a2abc3b2bac3c2cab3=aab3aac3bba3bbc3cca3ccb3ab3a=()bb()cbc3a()cac3179。：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai0(i=1,2,L,n),則a11a22Lanaaan179。(a1a2Lan)a1+a2+L+ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb179。abba，同理bbcc179。bccb,ccaa179。caac，另aabbcc179。aabbcc，4式相乘即得證.（4）設a179。b179。c179。0,則lga179。lgb179。+blgb179。algb+blga,類似例4可證alga+blgb+clgc179。algb+blgc+clga179。algc+blgb+，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數組a1163。a2163。L163。an,b1163。b2163。L163。bn，則a1b1+a2b2+L+anbn（順序和）179。a1bj1+a2bj2+L+anbjn（亂序和）179。a1bn+a1bn1+L+anb1（逆序和）其中j1,j2,L,jn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=（其證明略），,b,c206。R+時,a3+b3+c3179。a2b+b2c+c2a219。a2a+b2b+c2ca2b2c2111111179。ab+bc+ca。++179。a+b+c219。a2+b2+c2179。a2+b2+c2：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，179。179。，則a2+b2+c2（亂序和）cbacab111111179。a2+b2+c2（逆序和），同理a2+b2+c2（亂序和）abccab111179。a2+b2+c2（逆序和）兩式相加再除以2，179。179。組a179。b179。c及，222不妨設a179。b179。c,則a179。b179。c,：不等式右邊各項ai1=a；可理解為兩數之積，,b2,L,bn是a1,a2,L,an的重新排列，滿足b1b2Lbn，又1111L.,b2,Lbn是互不相同的正整數，++L+179。b+++L+122222n2323nb3bnb11故b1179。1,b2179。2,L,bn179。+2，原式得證.++L+179。1++L+2222n23n所以a1+評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2179。ab+ba，a3+b3+c3179。a2b+b2c+c2a=aab+bbc+cca179。abc+bac+cab=：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．+b2179。2ab,同理b2+c3179。2bc,c2+a2179。2ca；：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、++L+179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。（2）基本不等式有各種變式如(，：不等式左邊是a、b的4次式，+b179。1，如何也轉化為a、b的4次811,即證a4+b4179。(a+b)：（1）+x2+x3=1,xi179。0,求證：x1 +x211133求證：x1x2+x2x3 +x3179。.右側的可理解為(x1+x2+x3).再如已知x1+x2+x3=0，3332+x3x1163。0，此處可以把0理解為(x1+x2+x3)，（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數a1,a2,Lan)調和平均Hn=n111++L+a1a2an 幾何平均Gn=na1a2Lan 算術平均An=a1+a2+L+ann22a12+a2+L+an平方平均Qn=2這四個平均值有以下關系：Hn163。Gn163。An163。Qn，其中等號當且僅當a1=a2=L=: 令bi=ai,(i=1,2,L,n)則b1b2Lbn=1，故可取x1,x2,Lxn0，使得 Gnb1=xxx1x,b2=2,L,bn1=n1,bn=n由排序不等式有： x2x3xnx1b1+b2+L+bn=xx1x2++L+n（亂序和）x2x3x1111+x2+L+xn（逆序和）x1x2xn 179。x1=n，\aa+a2+L+ana1a2++L+n179。n,即1179。，L,各數利用算術平均大于等于幾何平均即可得，Gn163。 評述::原不等式等價于n+1(1+)1+平均，+11nn1，故可設法使其左邊轉化為n個數的幾何n+111111n+21(1+)n=(1+)L(1+)1(1+)L(1+)+1==1+.n+1nnnnnn+1n+114424431442443n個n+1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，(1+1n+11n+2)(1+).nn+1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，:先證左邊不等式111++L+219。(1+n)123n1111+++L++n123n 219。(1+n)nn111(1+1)+(+1)+(+1)+L+(+1)123n 219。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。n1+n(*)nn[(1+n)1]1+2+1n1n1+111++L+23nn 34n+1++L+23nn2+3+4+L+n+1=nn+ \（*）式成立，1111+++L+n(n1)nn123n1 219。n1n1n(1+111111++L+)(1)+(1)+L+(1)23n219。n1123n n1nn112n1++L+123n（**）219。 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.