高考數學公式定理規律大全-資料下載頁

【導讀】元素與集合的關系。集合12{,,,}naaa的子集個數共有2n個；真子集有2n–1個；非空子集有2n–1個；非空的。二次函數的解析式的三種形式。常有以下轉化形式。kfkf不等價,前者是后者的一個必。要而不是充分條件.特別地,方程)0(02????acbxax有且只有一個實根在),(21kk內,等價。閉區間上的二次函數的最值。qp,上的最值只能在abx2??處及區間的兩端點處取。定區間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據。的子區間L（形如????cbxaxxf恒成立的充要條件是00. 常見結論的否定形式。小于不小于至多有n個至少有（1n?四種命題的相互關系。，則p是q必要條件.，則p是q充要條件.也是減函數;如果函。在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數)]([xgfy?奇偶函數的圖象特征。恒成立,則函數)(xf的對稱軸是函數

　　

【正文】 y ? , 2( , ) 0f x y ? 的交點的曲線系方程是 12( , ) ( , ) 0f x y f x y???(? 為參數 ). (2)共焦點的有心圓錐曲線系方程 221xya k b k????,其中 22max{ , }k a b? .當 22min{ , }k a b? 時 ,表示橢圓 。 當 2 2 2 2m in{ , } m a x { , }a b k a b??時 ,表示雙曲線 . ? 直線與圓錐曲線相交的弦長公式 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?或 2 2 2 22 1 1 2 1 2( 1 ) ( ) | | 1 ta n | | 1 tA B k x x x x y y c o??? ? ? ? ? ? ? ? ? （弦端點 A ),(),( 2211 yxByx 由方程??? ??? 0)y,x(F bkxy 消去 y得到 02 ??? cbxax ， 0?? ,? 為直線 AB 的傾斜角， k 為直線的斜率） . ? 涉及到曲線上的 點 A， B 及線段 AB 的中點 M 的關系時，可以利用“點差法：，比如在橢圓中：高考公式大全 第 20 頁 共 32 頁 202095 1 1 2 22211222222222201 2 1 2221 2 1 2 0( , ) , ( , ) , M ( 0 , 0) , :1 ( 1 )1 ( 2)( 1 ) ( 2) ( ) ( )A x y B x y x yxyabxyabxy y x x bbx x y y a y a??????? ? ? ? ? ? ? ???中 點 則 有 ? 圓錐曲線的兩類對稱問題 （ 1）曲線 ( , ) 0F x y ? 關于點 00( , )Px y 成中心對稱的曲線是 00( 2 , 2 ) 0F x x y y??. （ 2）曲線 ( , ) 0F x y ? 關于直線 0Ax By C? ? ? 成軸對稱的曲線是 2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A A x B y C B A x B y CF x yA B A B? ? ? ?? ? ???. ? “四線”一方程 對于一般的二次曲線 22 0Ax Bx y C y D x Ey F? ? ? ? ? ?，用 0xx代 2x ，用 0yy代 2y ，用 002xy xy?代 xy ，用 02xx?代 x ，用 02yy?代 y 即得方程 0 0 0 000 02 2 2x y x y x x y yA x x B C y y D E F? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到 . 立體幾何 109． 證明直線與直線的平行的思考途徑 （ 1）轉化為判定共面二直線無交點； （ 2）轉化為二直線同與第三條直線平行； （ 3）轉化為線面平行； （ 4）轉化為線面垂直； （ 5）轉化為面面平行 . 110．證明直線與平面的平行的思考途徑 （ 1）轉化為直線與平面無公共點； （ 2）轉化為線線平行； （ 3）轉化為面 面平行 . 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （ 1）轉化為判定二平面無公共點； （ 2）轉化為線面平行； （ 3）轉化為線面垂直 . 112．證明直線與直線的垂直的思考途徑 （ 1）轉化為相交垂直； （ 2）轉化為線面垂直； （ 3）轉化為線與另一線的射影垂直； （ 4）轉化為線與形成射影的斜線垂直 . 113．證明直線與平面垂直的思考途徑 （ 1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直； 高考公式大全 第 21 頁 共 32 頁 202095 （ 2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直； （ 3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行； （ 4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面； （ 5）轉化為 該直線與兩個垂直平面的交線垂直 . 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （ 1）轉化為判斷二面角是直二面角； （ 2）轉化為線面垂直 . (1)加法交換律： a＋ b=b＋ a． (2)加法結合律： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)． (3)數乘分配律：λ (a＋ b)=λ a＋λ b． 始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量 . 對空間任意 兩個向量 a、 b(b≠ 0 )， a∥ b? 存在實數λ使 a=λ b． P A B、 、 三點共線 ? ||AP AB ? AP tAB? ? (1 )O P t O A tO B? ? ?. ||AB CD ? AB 、 CD 共線且 AB CD、 不共線 ? AB tCD? 且 AB CD、 不共線 . 向量 p 與兩個不共線的向量 a、 b 共面的 ? 存在實數對 ,xy,使 p ax by??． 推論 空間一點 P 位于平面 MAB 內的 ? 存在有序實數對 ,xy,使 MP xMA yMB??， 或對空間任一定點 O，有序實數對 ,xy，使 O P O M x M A y M B? ? ?. O 和不共線的三點 A、 B、 C，滿足 O P xO A yO B zO C? ? ?（ x y k? ? ? ），則當 1k? 時，對于空間任一點 O ，總有 P、 A、 B、 C 四點 共面；當 1k? 時，若 O? 平面 ABC，則 P、 A、 B、C 四點 共面；若 O? 平面 ABC，則 P、 A、 B、 C 四點不 共面． C AB、 、 、 D 四點共面 ? AD 與 AB 、 AC 共面 ? AD xAB y AC??? (1 )O D x y O A x O B y O C? ? ? ? ?（ ? 平面 ABC） . 如果三個向量 a、 b、 c 不共面，那么對空間任一向量 p，存在一個唯一的有序實數組 x， y， z，使 p＝ xa＋ yb＋ zc． 推論 設 O、 A、 B、 C 是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的三個有序實數 x， y， z，使O P xO A yO B zO C? ? ?. 已知向量 AB =a 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的 單位向量 .作 A 點在 l 上的射影 39。A ，作 B 點在 l 上的射影39。B ，則 39。39。 | | cosAB AB? 〈 a， e〉 =a e 設 a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b 則 (1)a＋ b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b? ? ?； (2)a－ b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b? ? ?； (3)λ a＝ 1 2 3( , , )a a a? ? ? (λ∈ R)； (4)a b＝ 1 1 2 2 3 3a b a b a b??； A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，則 AB OB OA??= 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z? ? ?. 124．空間的 線線平行或垂直 高考公式大全 第 22 頁 共 32 頁 202095 設 1 1 1( , , )a x y z?r ， 2 2 2( , , )b x y z?r ，則 abrrP ? ( 0)a b b???r r r r ? 121212xxyyzz???????????； ab?rr? 0ab??rr ? 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z? ? ?. 設 a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b ，則 cos〈 a， b〉 =1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a b a b a ba a a b b b??? ? ? ?. 推論 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )a b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ?，此即三維柯西不等式 . 126. 四面體的對棱所成的角 四面體 ABCD 中 , AC 與 BD 所成的角為 ? ,則 2 2 2 2| ( ) ( ) |c o s 2A B C D B C D AA C B D? ? ? ?? ?. 127．異面直線所成角 cos | cos , |ab? ? rr = 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2||||| | | | x x y y z zababx y z x y z??? ??? ? ? ? ?rrrr （其中 ? （ 0 90???oo）為異面直線 ab, 所成角， ,abrr分別表示異面直線 ab, 的方向向量） AB 與平面所成角 sin | || |AB marc AB m? ?? (m 為平面 ? 的法向量 ). ABC? 所在平面若 ? 與過若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另兩邊 AC ,BC 與平面 ? 成的角分別是 1? 、 2? ,AB、 為 ABC? 的兩個 內角，則 2 2 2 2 212sin sin ( sin sin ) sinAB? ? ?? ? ?. 特別地 ,當 90ACB??時 ,有 2 2 212sin sin sin? ? ???. ABC? 所在平面若 ? 與過若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另兩 邊 AC ,BC 與平面 ? 成的角分別是1? 、 2? , 39。39。AB、 為 ABO? 的兩個內角，則 2 2 2 39。 2 39。 212ta n ta n ( si n si n ) ta nAB? ? ?? ? ?. 特別地 ,當 90AOB??時 ,有 2 2 212sin sin sin? ? ???. l???? 的平面角 cos | || |mnarc mn? ?? 或 cos | || |mnarc mn? ?? （ m ， n 為平面 ? ， ? 的法向量） . 設 AC 是α內的任一條直線，且 BC⊥ AC，垂足為 C，又設 AO與 AB 所成的角為 1? ， AB 與 AC 所成的角為2? ， AO 與 AC 所成的角為 ? ．則 12cos cos cos? ? ?? . 133. 三射線定理 高考公式大全 第 23 頁 共 32 頁 202095 若夾在平面角為 ? 的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角 是 1? , 2? ,與二面角的棱所成的角是θ，則有 2 2 2 21 2 1 2sin sin sin sin 2 sin sin c o s? ? ? ? ? ? ?? ? ? 。 1 2 1 2| | 180 ( )? ? ? ? ?? ? ? ? ?(當且僅當 90?? 時等號成立 ). 若 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，則 ,ABd =||AB AB AB?? 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z? ? ? ? ? ?. Q 到直線 l 距離 221 ( | || |) ( )||h a b a ba? ? ?(點 P 在直線 l 上，直線 l 的方向向量 a=PA ，向量 b=PQ ). ||||CD nd n?? ( 12,ll是兩異面直線，其公垂向量為 n ， CD、 分別是 12,ll上任一點， d 為 12,ll間的距離 ). B 到平面 ? 的距離 ||||AB nd n?? （ n 為平面 ? 的法向量， AB 是經過面 ? 的一條斜線， A?? ） . 公式 2 2 2 2 c o sd h m n m n ?? ? ?. 2 2 2 39。2 c o s ,d h m n m n E A A F? ? ? ?. 2 2 2 2 c o sd h m n m n ?? ? ? ?（ 39。E AA F? ? ? ? ） . (兩條異面直線 a、 b 所成的角為θ，其公垂線段 39。AA 的長度為 a、 b 上分別取兩點 E、 F，39。AE m? ,AF n? ,EF d? ). 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 | | | | c o s , 2 | | | | c o s , 2 | | | | c o s ,a b c a b a b b c b c c a c a? ? ? ? ? ? ? ? ? 140. 長度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 1 2 3l l l、 、 ，夾角分別為1 2 3? ? ?、 、 ,則有 2 2 2 21 2 3l l l l? ? ? 2 2 21 2 3c os c os c os 1? ? ?? ? ? ?2 2 21 2