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23函數極限-資料下載頁

2025-11-05 23:52本頁面

　　

【正文】化為型，再使用洛必達法0165。則求極限。例如f(x)g(x)的極限轉化為求eg(x)lnf(x)的極限等等。然而，對于數列，則必須轉化為函數再運用洛必達法則。這是因為如果把數列看作是自變量為n的函數時，它的定義域是一系列孤立的點，不存在導數。這是使用洛必達法則時必須要注意的一點。參見附例3。五、泰勒公式的運用對于使用洛必達法則不易求出結果的復雜函數式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數式化為最高次項為相同或相近的式子，這時就變成了求多項式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初等函數的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln(1+x)等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。如cosxelimx174。0x4x4)。x2利用泰勒公式展開cosx,ex22，展開到x4即可(原式x最高次項為六、利用微分中值定理來求極限f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，則至少存在一點x206。(a,b)，使f39。(x)=f(b)f(a)39。f(b)f(a),f(x)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需baba要函數式可以看成同一函數的區間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如lim(1+x)=e，limx174。01xsinx=1，=1，=1等等。x174。0nnx求極限的方法和技巧更多的在于實踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數學學習和練習的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，敬請批評指正。南開大學張陽和張效成老師的課堂教學給了筆者很大的啟發，在此向兩位老師表示感謝。附：例1：對任意給定的e206。(0,1)，總存在正整數N,使得當nN時，恒有。xna163。2e，是數列{xn}收斂于a的（）A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數學選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。例2：若x1=a，y1=b（ba0），xn+1=xnyn，yn+1=明數列{xn},{yn}有相同的極限。（見習題冊1 ）解析：由已知條件易知，b=y1179。y2179。……179。yn+1179。xn+1179。……179。x1=a，數列xn+1+yn+1，試證2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數學習題課講義（上冊）》，為學生用數學練習冊。x+ynlimyn+1=lin{xn}，{yn}單調有界，可以推出{xn}，{yn}收斂。n174。165。n174。165。n174。165。設limyn=A，limxn=B，則222。A=n174。165。A+B,222。A=B。2例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 ）n174。165。n1246。230。解析：這是數列。設f(x)=231。xtan247。，則對limf(x)可以運用洛必達法則，x174。+165。x248。232。且原式=limf(x)。x174。+165。x2aaarctan),a0n174。165。nn+1arctan解析：如例題3，設f(x)=a，則在[x,x+1]上f(x)連續，在(x,x+1)內x例4：求limn2(arctan可導。于是，$x206。(x,x+1),f39。(x)=arctanaaaarctan=2（使用微分中x+1xa+x2a)=a。22a+x值定理可得）。x174。165。,則x174。165。,原式=limx2（x174。165。參考書目[1] 張效成主編，《經濟類數學分析（上冊）》，天津大學出版社，2005年7月 [2] 薛運華，趙志勇主編，《高等數學習題課講義（上冊）》，南開大學 [3] 張友貴等，《掌握高等數學（理工類、經濟類）》，大連理工出版社，2004年11月[4]《碩士研究生入學考試試題》，1984—2005※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○文中課本是指筆者使用的天津大學出版社05年7月版的《經濟類數學分析（上冊）》張效成主編第五篇：函數極限證明函數極限證明記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮。下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。不妨設f1(x)趨于a。作ba=0,M1。那么存在N1,當xN1,有a/MN2時，0Ni時，0那么當xN,有(a/M)^n

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