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高中人教a版數學必修3學案：331-幾何概型-332-均勻隨機數的產生-【含答案】-wenkub.com

2026-03-26 05:48 本頁面

　　

【正文】 ABD＝VC173。＋故滿足條件的概率為＝.2．(變結論)本例條件不變．(1)若求AM不大于AC的概率，結果有無變化？(2)求AM大于AC的概率．[解]　(1)結果不變．幾何概型中，一點在線段上的長度視為0，包含與不包含一點，不改變概率的結果．(2)如圖，點M隨機地落在線段AB上，故線段AB的長度為試驗的全部結果所構成的區域長度，在AB上截取AC′＝AC，當點M位于線段C′B上時，AMAC，故線段C′B即為構成事件的區域長度．∴P(AMAC)＝P(AMAC′)＝＝1－.求解與長度有關的幾何概型的關鍵點在求解與長度有關的幾何概型時，首先找到試驗的全部結果構成的區域D，這時區域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發生對應的區域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點是否取到不會影響事件A的概率.與面積、體積有關的幾何概型【例2】　(1)如圖所示，來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　)A．p1＝p2　　　　　　 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3(2)在一個球內有一棱長為1的內接正方體，一動點在球內運動，則此點落在正方體內部的概率為(　　)A.　　　　 C.　　　　 D.思路點撥：(1)根據幾何圖形特征．分別計算區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積應用面積型幾何概型定義判斷．(2)所求概率涉及到體積問題應用與體積有關的幾何概型公式求解．(1)A　(2)D　[(1)法一：設直角三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則區域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝bc，區域Ⅱ的面積S2＝π＋π－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識知p1＝p2，故選A.法二：不妨設△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝22＝2，區域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2，區域Ⅱ的面積S2＝π12－(π－2)＝，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A.(2)由題意可知這是一個幾何概型問題，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R＝，球的體積V2＝π＝π，則此點落在正方體內部的概率P＝＝.]解與面積(體積)相關的幾何

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