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【正文】 . 即平面 SAC⊥平面 ABC. 另證：過 S作 SO⊥平面 ABC，垂足是 O.∵ SA＝ SB＝ SC，∴ S在平面內的射影是Δ ABC的外心，同前面的證明，可知Δ ABC是直角三角形，∴ O在斜邊 AC上 .又∵平面 SAC經過 SO，∴平面SAC⊥平面 ABC 說明 證明“面面垂直”的常用方法是根據定義證明平面角是 90176。即 BD⊥ DC．連結 BC，設 AD=a，則 BD=DC=AD=a， aAB 2? ， aAC 2? ， aBC 2? ，∴ △ ABC是正三角形，∴ ∠ BAC=60176。 D． 30176。 60? 解析：如圖所示，將BD1 1平移到AF1，則在?AFC1中 A F A C CFFA CFA C1 112 2 212 3 72 3 72 2 31260? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?； ； ，故co s ( ) 268. 根據敘述作圖，指出二面角 ??l??的平面角，并證明． （ 1）已知 ??∩ ??=l， A∈ l（圖 939）．在 ??內作 PA⊥ l 于 A，在 ??內作 QA⊥ l 于 A． 33 圖 939 （ 2）已知 ??∩ ??=l， A∈ ??， lA? （圖 940）．作 AP⊥ ??于 P，在 ??內作 AQ⊥ l于 Q，連結 PQ． 圖 940 （ 3）已知 ??∩ ??=l， ??A ， ??A ?（圖 941）．作 AP⊥ ??于 P， AQ⊥ ??于 Q， l∩平面 PAQ=H，連結 PH、 QH． 解析： （ 1） PA ??， QA ??， PA⊥ l， QA⊥ l，∴ ∠ PAQ 為二面角的平面角． （ 2）∵ AP⊥ ??，∴ PQ為 AQ在平面 ??內的射影，∵ AQ⊥ l，根據三垂線定理，有 PQ⊥ l，∴ ∠ AQP 為二面角的平面角（如圖答 935）． （ 3）∵ AP⊥ ??，∴ AP⊥ l，∵ AQ⊥ ??，∴ AQ⊥ l，∴ l⊥平面 PAQ，∵ PH ，用勾股定理得 EF39。角的條數，就是所求的條數 . 畫圖可知，過 P點與 a′、 b′成 30176。 27 又 AC＝ a， BD＝ b， ACMN ＝ BABM ＝ 11?k ∴ MN＝ 11?k a 又 MQ＝ 11?k b,且 MQ＝ MN， 1?kk b＝ 11?k a，即 k＝ ba . 說明：公理 4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點 . ：直線 a和直線 b是異面直線，直線 c∥ a，直線 b與 c不相交，求證： b、 c是異面直線 . 證：因為 b,c不相交， b、 c的位置關系有 b∥ c 或 b、 c異面兩種可能 . 假設 b∥ c,∵ c∥ a,∴ a∥ b，這與已知 a,b是異面直線矛盾 . 所以 b 與 c不能平行，又 b、 c不相交 所以 b,c是異面直線 . AB、 CD同時相交的兩條直線 AC、 BD 一定是異面直線，為什么 ? 證明：假設 AC、 BD不異面，則它們都在某個平面α內，這時 A、 B、 C、 D四點都在α上，由公理 1知 A、 B、 C、 D? α，這與已知 AB與 CD異面矛盾，所以 AC、 BD一定是異面直線 . 257. 如圖， ABCD— A1B1C1D1是正方體 ， B1E1＝ D1F1＝ 411BA ，則 BE1與 DF1所成角的余弦值是( ) C. 178 D. 23 28 解析：過 A點在平面 ABB1A1內作 AF，使 A1F＝ D1F1，則 ADF1F是平行四邊形，∴ FA∥ DF1，再過 E1在平面 ABB1A1內作 E1E∥ FA，則∠ BE1E即是 BE1與 DF1所成的角，由已知 BE1＝ DF1＝ 411BA ，ABCD— A1B1C1D1是正方體，∴ E1E＝ 417 A1B1， 又 DF1＝ AF＝ E1E， DF1＝ BE1. ∴ E1E＝ 417 A1B1， EB＝ 21 A1B1 在Δ BE1E中， cos∠ BE1E＝11221212 BEEE BEBEEE ?? ??＝ 1715 . ∴ 應選 A. 258. 在棱長為 1的正方體 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N分別為 A1B1和 BB1的中點，那么直線AM與 CN所成角的余弦值是 ( ) A. 23 B. 1010 解析：由圖所示， AM與 CN是異面直線，過 N作平行于 AM的平行線 NP，交 AB于 P，由定義可知∠ PNC就是 AM與 CN所成的角 .因Δ PBC，Δ PBN，Δ CBN皆為直角三角形，且 BP＝ 41 ， 29 BN＝ 21 ， BC＝ 1，故 PN2＝ (41 )2+(21 )2＝ 165 ， CN2＝ (21 )2+12＝ 45 ， PC2＝ (41 )2+12＝ 1617 ，在Δ PCN中 cos∠ PNC＝ CNPN PCCNPN ? ??2 222 ，所以 cos∠ PNC＝ 52 ，因此應選 D. 259. 已知異面直線 a與 b所成的角為 50176。 249. 如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的 12條直線中，異面直線共有 ( ) 23 解析：本題以六棱錐為依托，考查異面直線的概念及判斷，以及空間想象能力 . 解法一：如圖，任何兩條側棱不成異面直線，任何兩條底面上的棱也不成異面直線，所以，每對異面直線必然其中一條是側棱而另一條為底面的棱，每條側棱，可以且只有與 4條底面上的棱組成 4對異面直線，又由共 6條側棱，所以異面直線共 6 4＝ 24對 . 解法二：六棱錐的棱所在 12條直線中，能成異面直線對的兩條直線，必定一條在底面的平面內，另一條是側棱所在直線 .底面棱所在直線共 6條，側棱所在直線也有 6條，各取一條配成一對，共 6 6＝ 36對，因為，每條側棱所在的直線，與底面內的 6條直線有公共點的都是 2條，所以，在 36對中不成異面直線的共有 6 2＝ 12對 .所以，六棱錐棱所在的 12條直線中，異面直線共有 3612＝ 24對 . 250. 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關系是 ( ) 解析：本題考查兩條直線的位置關系，異面直線的概念，以及空間想象能力 . 解法一：設兩條異面直線分別為 l1， l2，則與它們分別相交的兩條直線有可能相交，如圖 1，也可能異面，如圖 2，它們不可能平行，這是由于：假設這兩條直線平行，則它們確定一個平面α，兩條平行線與兩條異面直線 l1與 l2的四個交點均在α內，則兩異面直線 l1與 l2也在α內，這是不可能的 .∴應選 D. 解法二：利用排除法，容易發(fā)現，分別和兩條異面直線都相交的兩條直線可以是相交的位置關系，由于這點可以排除選擇選 A、 B、 D. 251. 已知兩平面α，β相交于直線 a，直線 b在β內與直線 a相交于 A點，直線 c在平面α內與直線 a平行，請用反證法論證 b,c為異面直線 . 解析：這題規(guī)定用反證法，提出與結論相反的假定后，要注意分可能的幾種情況討論 . 24 證：用反證法 . 假設 b,c共面，則 b∥ c 或 b,c相交 . (1)若 b∥ c,∵ c∥ a, ∴ a∥ b這與 b∩ a＝ A的已知條件矛盾； (2)若 b∩ c＝ P,∵ b? β，∴ P∈β . 又∵ c? α，∴ P∈α . ∴ P∈α∩β而α∩β＝ a. ∴ P∈ a，這樣 c,a有了公共點 P，這與 a∥ c的已知條件矛盾 . 綜上所述，假設不成立，所以 b、 c為異面直線 . 說明 本題如不指明用反證法，也可以考慮用平面直線的判定定理來證明 . 252. 如圖，在棱長為 a的正方體 ABCD— A1B1C1D1中，異面直線 AA1和 1BD 的中點分別是 E、F. (1)證明 EF是 AA1與 BD1的公垂線段； (2)求異面直線 AA1和 BD1間的距離 . 解析： (1)連接 ED EB， 則顯然 ED1＝ EB＝ 25 a 又 F 為 BD1之中點 . ∴ EF⊥ BD1； 連接 FA1， FA. ∵ F 為正方體的中心， ∴ FA＝ FA1，又 E為 AA1之中點， 25 ∴ EF⊥ A1A. 故 EF為 AA1與 BD1的公垂線段 . (2)在 RtΔ EFD1中 EF＝ 2121 FDED ? ＝ aaa224345 22 ??. 故 AA1到 BD1間的距離是 a22 . 評析：今后學習了線面的位置關系之后，可以利用“轉化”的思想求 距離 . 253. 如圖所示，正三棱錐 S— ABC的側棱與底面的邊長相等，如果 E、 F分別為 SC、 AB的中點，求異面直線 EF與 SA所成的角 . 解析：計算 EF、 SA所成的角，可把 SA平移，使其角的頂點在 EF上 .為此取 SB之中點 G，連 GE、 GF、 BE、 AE，由三角形中位線定理： GE＝ 21 BC， GF＝ 21 SA，且 GF∥ SA，所以∠ GFE就是 EF與 SA所成的角 .若設此正三棱錐棱長為 a，那么 GF＝ GE＝ 21 a,EA＝ EB＝ 23 a,EF＝22 )21( ABEA ? ＝ 22 a，因為Δ EGF為等腰直角三角形 .∠ EFG＝ 45176。 BD1， a ，已知平行六面體 1111 DCBAABCD ? 的底面 ABCD是菱形，且 011 60?????? B C DCDCCBC ，（ 1） 證明： BDCC ?1 ； （ II）假定 CD=2， 231 ?CC，記面 BDC1 為α，面 CBD 為 β，求二面角 α BD β 的平面角的余弦值； （ III）當1CCCD 的值為多少時，能使 BDCCA 11 平面? ？請給出證明 . 解析：（ I）證明：連結 11CA 、 AC， AC 和 BD交于 .，連結 OC1 ， ∵四邊形 ABCD是菱形，∴ AC⊥ BD， BC=CD， ,11 DCCBCC ???? 可證 DCCBCC 11 ??? ， DCBC 11 ?? ， 故 BDOC ?1 ，但 AC⊥ BD，所以 1ACBD 面? ，從而 BDCC ?1 ； （ II）解：由（ I）知 AC⊥ BD， BDOC ?1 ， OCC1? 是二面角α — BD— β的平面角，在BCC1? 中， BC=2， 231 ?CC ， 01 60??BCC ， ∵∠ OCB=60176。 解析： 在面 ABCD中作 MP? AB于 P，連 PN，則 MP? 面 ABEF，所以 MP? PN， PB=1AP= x22在 ? PBN 中，由余弦定理得： PN2= 022 45c o s2)22( xyyx ??? xyyx ??? 2221 ，在 PMNRt? 中， MN= xyyxxPNMP ?????? 22222 21)221( 1222 ????? xxyyx ).2,0( ?? yx ； （ 2） MN 1222 ????? xxyyx31)3 22(43)2( 22 ???? xxy，故當 32?x ，32?y 時， MN 有最小值 33 。 (3)求 MN的最小值 . 解析： (1)如圖 ,作 MG//AB交 BC 于 G, NH//AB交 BE 于 H, MP//BC 交 AB于 P, 連 PN, GH , 易證 MG//NH,且 MG=NH, 故 MGNH 為平行四邊形 ,所以 MN//GH , 故 MN//面 BCE 。故所求二面角 )3arccos(??? 。點 M 在 AC 上移動，點 N 在 BF 上移動，若CM=BN=a ).20( ??a （ 1）求 MN的長； （ 2）當 a 為何值時， MN的長最小； （ 3）當 MN長最小時，求面 MNA 與面 MNB所成的二面角 ? 的大小。 240. 如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N分別是 A1D A1B BC、CD、 DA、 DE、 CL 的中點，（ 1）求證： EF? GF；（ 2）求證： MN//平面 EFGH；（ 3）若 AB=2，求 MN 到平面 EFGH 的距離。 方法二：如圖，連接 BF、 PB，設點 B 到平面 PEF 的距離為 d， 由 VPBEF= S△BEF又由平面 PCA 垂直平面 PEF，故 DB 與 AC 的交點到兩垂直平面的交線的距離為所求距離。 ∴PQ= = =7。 求： P、 Q 兩點間的距離。BB39。 236. 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中， P 為 DD1中點， O為底面 ABCD 中心， 求證： B1O⊥平面 PAC。 可證 BC⊥平面 APD，由 BC⊥ AD， BC⊥ PD 可得 Rt△ PBD、 Rt△ PDC、 Rt△ ADB、 Rt△