高考數學_難點突破訓練——數列與數學歸納法含詳解-wenkub.com

　 　

【正文】 90120424 aaS ， 當 1?q 時，??????????,90,1201 )1(31141qaqaqqa 化簡得0342 ??? qq ，所以 3?q ， 31?a ， nna 3? ，等差數列 }{nb 中， ??? ??? ， 3460424 bbS39。②得： 2512123 ?a，所以 5113?a．①②，得 5511122 ????? qqqq， 即 056)1()1( 2 ?????qqqq． 71??qq或 81 ???qq．（舍去） 由 71??qq 得： 0172 ??? qq 2 537??q ∴ 3)2 537(511 ??? ? nna 23. （ 1）由已知，得??? ???? 2)5(log 1)2(log33 ba ba ，解得： ??? ??? 12ba ， ． ∴ )12(lo g)( 3 ?? xxf （ 2） 123 )12(log 3 ??? ? na nn ． *N?n 設存在正數 k，使得 ??? )11)(11(21 aa? 12)11( ???? nkan對一切 *N?n 均成立， 則 ????? )11)(11(12 1 21 aank? )11(na??．記 ????? )11)(11(12 1)( 21 aannF? )11( na?? ，則 )1( ?nF ????? )11)(11(32 1 21 aan ? )11( na?? )11( 1?? na ． ∵ 1)1(2 )1(21)1(4 )1(2)32)(12( 22)( )1( 2 ?????? ???? ??? nnn nnn nnF nF． ∴ )()1( nFnF ?? ，∴ F（ n）是隨 n的增大而增大， ∵ *N?n ，∴ 當 1?n 時， 3 32)1()(m in ?? FnF． ∴ 332?k ，即 k 的最大值為 332 ． 24. （ 1）∵ f(1),f(2),f(4)成等差數列， ∴ f(1)+f(4)=2f(2). 即 log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2 ∴ (m+1)(m+4)=(m+2)2 即 m2+5m+4=m2+4m+4 ∴ m=0 (2) ∵ f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)], 2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2, ∵ a,b,c成等比數列， ∴ acb ?2 ∵ (a+m)(c+m)(b+m)2 =ac+am+cm+m2b22bmm2 =ac+m(a+c)b22bm =m(a+c)2m ac ∵ a0,c0. ∴ a+c≥ 2 ac ① m0時， (a+m)(c+m)(b+m)20, ∴ log2[(a+m)(c+m)log2(b+m)2 ∴ f(a)+f(c)2f(b)。 （ 3） 8 1 2 8...S T T T? ? ? ?。 （ 2） 2,32)(,111 ???????? ? nNnm mmfqab .23,3231113111.3111333223)(23111111????????????????????????????????nbnnbbbbbbbbbbbfbnnnnnnnnnnnnn為公比的等差數列為首項是 10. （Ⅰ）經計算 33?a ， 414?a， 55?a ， 816?a． 當 n 為奇數時， 22 ??? nn aa ，即數列 }{na 的奇數項成等差數列， 122)1(112 ??????? ? nnaa n ； 當 n 為偶數，nn aa 212 ??，即數列 }{na 的偶數項成等比數列， nnn aa )21()21( 122 ???? ?． 因此，數列 }{na 的通項公式為??????)()21()( 2 為偶數為奇數nnna nn ． （Ⅱ） ? nn nb )21()12( ???， nnn nnS )21()12()21()32()21(5)21(3211 132 ?????????????? ?? ??（ 1） 1432 )21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21 ?????????????? nnn nnS ??（ 2） （ 1）、（ 2）兩式相減， 得 132 )21()12(])21()21()21[(2211 21 ?????????? nnn nS ? 11)21()12(211])21(1[2121 ?? ???????? nnn 1)21()32(23 ????? nn ． nn nS )21()32(3 ?????． 11. 設 {}na 的公差為 d，首項為 1a ，則 3 4 5 6 7 14 18 48T a a a a a d? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 4 8 9 1 5 1... 8 84 0T a a a a d? ? ? ? ? ? ? （ 2） 解得 1 21, 2ad?? ? ，則 2 23nan??。 ，在 （ ， ?? ） 上為減函數． 故當 n＝ 4時， ??? nan取最大值 3 而 函數 ??xy 在 x＜ ， y＜ 0， 0)( 1 2 ???? xy39。 26. }{na 和 }{nb 分別是等比數列和等差數列，它們的前四項和分別為 120和 60，而第二項與第四項的和分別是 90和 34，令集合 21{aA? ， 22a ， 23a ，?， }2na ， 1{bB? ， 2b ， 3b ，?，}nb ．求證： ??BA ． 27. 已知曲線 C： xy 1? ， nC ：nxy ??? 21 （ ??Nn ）。當從 B 口得到 16112195 的倒數時，求此時對應的 nS 的值 . 16. 已知數列 }{na ，其前 n項和 Sn滿足 ?? (121 ??? nn SS 是大于 0的常數），且 a1=1， a3=4. （ 1）求 ? 的值； （ 2）求數列 }{na 的通項公式 an； （ 3）設數列 }{ nna 的前 n項和為 Tn，試比較 2nT 與 Sn的大小 . 17. 定義：若數列 {}nA 滿足 21nnAA? ? ，則稱數列 {}nA 為 “ 平方遞推數列 ” ．已知數列 {}na中， 1 2a? ，且 21 22n n na a a? ??，其中 n 為正整數． (1)設 21nnba??，證明：數列 {}nb 是 “ 平方遞推數列 ” ，且數列 {lg }nb 為等比數列； (2)設 (1)中 “ 平方遞推數列 ” {}nb 的前 n 項之積為 nT ，即 12( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )nnT a a a? ? ? ?，求數列 {}na 的通項及 nT 關于 n 的表達式； (3)記21log nn a ncT??，求數列 {}nc 的前 n 項之和 nS ，并求使 2020nS ? 的 n 的最小值． 18. 在不等邊△ ABC中，設 A、 B、 C所對的邊分別為 a， b， c，已知 A2sin ， B2sin ， C2sin依次成等差數列，給定數列 aAcos ， bBcos ， cCcos ． （ 1）試根據下列選項作出判斷，并在括號內填上你認為是正確選項的代號： 數列 aAcos ， bBcos ， cCcos （ ）． A．是等比數列而不是等差數列 B．是等差數列而不是等比數列 C．既是等比數列也是等差數列 D．既非等比數列也非等差數列 （ 2）證明你的判斷． 19. 已知 }{na 是等差數列，其前 n項和為 Sn，已知 a2=8， S10=185， （ 1）求數列 }{na 的通項公式； （ 2）設 nn ba 2log? ，證明 }{nb 是等比數列，并求其前 n項和 Tn. 20. 已知數列 {an}中，a1 1?，a a an n n? ?? ?1 11（ n＝ 2， 3， 4，?） （ I）求a2 的值； （ II）證明當 n＝ 2， 3， 4，?時，2 1 3 2n a nn?? ? ? 21. 已知等差數列 {an}中，Sn3 8?，是其前 n項的和且S20 610? （ I）求數列 { n}的通項公式。 （Ⅰ）求 ??na 的通項； （Ⅱ）求 ? ?nnS 的前 n項和 nT 。記 nT 為第