[工學]復變函數與積分變換第四章-wenkub.com

　 　

【正文】 % 表示分子和分母 expand(d) % 展開分母ans=z^23*z+2 P=[1]。z??( 3 ) 2 。 taylor(f,z,4,1) % 在 z=1處展開 4項ans=1/4+1/4*z1/8*(z1)^2+1/16*(z1)^3附 : 常見函數的 Taylor展開式 20( 1 ) 1 ,2 ! ! !nnznz z zeznn??? ? ? ? ? ? ? ?201( 2 ) 1 ,1nnnz z z zz??? ? ? ? ? ? ?? ?201( 3 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ,1n n n nnz z z zz??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?3 5 2 1( 4 ) sin ( 1 ) ,3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzzn?? ? ? ? ? ? ??)1( ?z)1( ?z)( ??z)( ??z2 4 2( 5 ) c os 1 ( 1 ) ,2 ! 4 ! ( 2 ) !nnz z zzn? ? ? ? ? ? ?)( ??z2 3 1( 6 ) ln ( 1 ) ( 1 ) ,2 3 1nnz z zzzn?? ? ? ? ? ? ? ????????? 011)1(nnnnz)1( ?z23( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 7 ) ( 1 ) 12 ! 3 !z z z z? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?,! )1()1( ??? ????? nzn n??? )1( ?z1 Laurent級數的概念 2 函數的 Laurent級數展開 3 典型例題 167。nnnf z nc z z? ??? ???10( 1 )ln ( 1 )1nnnzz n????????? ?2 3 1( 1 ) 1 .23 n nzzz z zn ??? ? ? ? ? ? ?? ?21 ( 1 ) 1 .nnz z z z? ? ? ? ? ? ? ?1?Ro1? 1 xy例 求冪函數 (1 )z ?? (?為復數 )的主值 l n ( 1 )( ) , ( 0 ) 1zf z e f? ???在 z=0點的 Taylor展開式 . 實軸向左的射線的區域內解析 . 1?Ro1? 1 xy因此在 內 , 1z ?可展開為 z的冪級數 . ()fz根據復合函數求導法則 , 按照直接方法展開如下 : 顯然 , ()fz在復平面中割去從點 1沿負 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsz a。 f=1/(1+z^2)^2。 Taylor級數 實函數在一點的鄰域內展開成 Taylor級數是 非常重要的問題，它是表示函數、研 究函數性質 以及進行數值計算的一種工具 . 對于復變函數 , 我們已經知道冪級數在收斂 圓域內收斂于解析函數 . 在本節我們將證明解析 函數在解析點的某鄰域內一定能夠展開成冪級數 — Taylor級數 . 這是解析函數的重要特征 . Taylor級數展開定理 R為 到 D邊界的距離 0z定理 (Taylor展開定理 ) 設 在區域 D )(zf內解析 , 0z 為 D內的一點 , ,)()(00?????nnn zzczf? ?0, 1 , 2, .n ?D0z. R (D是全平面時 , R=+?), 則 在 內可 0z z R??()fz展開為冪級數 其中 () 01 ()! nnc f zn?系數 按上述表示的冪級數稱為 ()fz在 點的 Taylor級數 . 0zTaylor展開式的惟一性定理 定理 設 ()fz是 D上的解析函數 , 0z 是 D內的點，且在 0z z R??內可展成冪級數 00( ) ( ) ,nnnf z c z z??????則這個冪級數是 ()fz在 0z 點的 Taylor級數，即 ()0() ( 0, 1 , 2, ) .!nnfzn? ??注 這個定理為把函數展開成 Taylor級數的間接 方法奠定了基礎 . 將函數展開成 Taylor級數 將函數展開為 Taylor級數的方法 : 1. 直接方法 。的冪級數 , 其中 a與 b是不相等的復常數 . ?? bz 1 )()( 1 abaz ???11 .1 zababa? ? ? ?? ??代數變形 , 使其分母中出現 )( az ?湊出 )(1 1 zg? 把函數 寫成如下的形式 : bz?1解 運行下面的 MATLAB語句 . symsz a b。R ?(2) 當 時 , 收斂半徑 ? ? ??定理 (比值法 ) 設級數 如果 0.nnnaz???則 收斂半徑的計算方法 (二 ) (3) 當 時 , 收斂半徑 1.R r=0 ?? ? ??lim ,n nn a ??? ?。 0 nnn cz???1zz?若級數 在 處發散，則當 時 , 級數0 nnn cz??? 2z 2zz?0 nnn cz??? 發散 . xyo ? . ?. R收斂圓 收斂半徑 冪級數 0nnnaz165。收斂， ?? ?????????00 0 !)8(!8!8)2(nnn nnnninni?.)2)1((2 1)1()3(111收斂收斂，收斂， ?????????????nnnnnnn inn?例 否絕對收斂？下列級數是否收斂？是? ?? ?????????0 11)2)1(()3(!)8()2()1(1)1(n nnnnninninin.)1(1原級數非絕對收斂收斂，條件又 ?????nnn?1 冪級數的概念 2 冪級數的斂散性 3 冪級數的性質 167。 LL為復數項級數 .稱 121nn k nkS a a a a== = + + +229。第四章 解析函數的級數表示 1 復數列的極限 2 復數項級數 167。 L為該級數的前 n 項 部分和 . 設 是復數列 , 則稱 ? ? ? ?n n nai????級數收斂與發散的概念 定義 如果級數 121nnna a a a165。 冪 級 數 為復變函數項級數 . 121( ) ( ) ( ) ( )nnnf z f z f z f z??? ? ? ? ??)()()()( 21 zfzfzfzS nn ???? ?為該級數前 n項的 部分和 . 設 是定義在區域 D上的復變函數列 , ? ?()nfz稱 冪級數的概念 ?? ????? )()()()( 21 zfzfzfzS n稱為該級數在區域 D上的 和函數 . 如果對 級數 收斂 , 即 0 ,zD?