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空間向量的標準正交分解與坐標表示、空間向量基本定理課件北師大版選修-wenkub.com

2026-05-30 19:01 本頁面

　　

【正文】 i ＝ |a||i | c os 〈 a ， i 〉 , ∴ | a |c os 〈 a ， i 〉＝ab0＝為向量 a在向量 b上的投影 . (x， y， z) 坐標軸正方向 x y z (x， y， z) |a|cos〈 a， b〉空間中任給三個向量 a， b， c. 問題 1：什么情況下，向量 a， b， c可以作為一個基底？提示：它們不共面時．問題 2：若 a， b， c是基底，則空間任一向量 v都可以由 a，b， c表示嗎？提示：可以．如果向量 e e e3是空間三個的向量， a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數 λ λ λ3使得 a＝ . 其中 e e e3叫作這個空間的一個．表示向量 a關于基底 e1， e2， e3的分解．不共面基底 λ1e1＋ λ2e2＋ λ3e3 a＝ λ1e1＋ λ2e2＋ λ3e3 空間向量基本定理表明，用空間三個不共面的已知向量 a， b， c可以表示出空間任一向量；空間中的基底是不唯一的，空間任意三個不共面的向量均可作為空間向量的基底． [ 例 1] 如圖，在空間直角坐標系中，有長方體 A B C D － A ′ B ′ C ′ D ′ ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，AA ′ ＝ 6. (1) 寫出 C ′ 的坐標，給出 AC ? 關于 i ， j ， k的分解式； (2) 求 BD ? 的坐標． [ 思路點撥 ] (1) C ′ 的坐標 ( 也是 AC ? 的坐標 ) ，即為 C ′ 在 x軸、 y 軸、 z 軸正方向上的投影，即 | OD |， | OB || OA ′ |. (2) 寫出 BD ? 關于 i ， j ， k 的分解式，即可求得 BD ? 的坐標． [ 精解詳析 ] ( 1) ∵ AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AA ′ ＝ 6 ， ∴ C ′ 的坐標為 ( 4,3,6) ． ∴ AC ? ＝ ( 4,3,6) ＝ 4i ＋ 3 j ＋ 6 k . ( 2) BD ? ＝ AD ? － AB . ∵ AD ? ＝ AD ＋ AA ? ＝ 4 i ＋ 6 k ， ∴ BD ? ＝ AD ? －＝－ AB ＋ AD ＋ AA ? ＝ 4i － 3 j ＋ 6 k ， ∴ BD ? ＝ (4 ，－ 3,6) ． [一點通 ] (1)建立恰當的空間直角坐標系是準確表達空間向量坐標的前提，應充分利用已知圖形的特點，尋找三條兩兩垂直的直線，并分別為 x， y， z軸進行建系． (2)若表示向量的坐標，只要寫出向量關于 i，j， k的標準正交分解式，即可得坐標． AB AB1. 在如圖所示的空間直角坐標系中，正方體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長為 1 ， B 1 E 1 ＝14 A 1 B 1 ，則1DE的坐標為 __

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