淺談對稱性在數學中的應用＿畢業論文-wenkub.com

2026-06-21 21:09 本頁面

　　

【正文】 ),(),(,0),(時當時當其中 }0,),{(2 ??? xLyxL . 用對弧長的曲線積分定義容易證明 . 例 18 計算 dsyxxL? ? )4( 23, 其中 L 為折線段 1??yx 所圍成區域的整個邊界 . 解由于曲線 L 關于 y 軸對稱 , 而 34x 是關于 x 的奇函數 , 故 04 3 ?? dsxL . 又 L 關于 x 軸對稱 , 而 yx2 是關于 y 的奇函數 , 故 02 ?? dsyxL . 從而 0)4( 23 ??? dsyxxL. 在曲線積分中 , 常用輪換對稱性化簡曲線積分 . 所謂輪換對稱性 , 即積分曲線方程中的變量輪換位置 , 方程不變 . 例 19 計算 dsx??2, 其中 ? 為??? ??? ??? 0 2222 zyx Rzyx . 解由于積分曲線方程中的變量 zyx , 具有輪換對稱性 , 即三個變量輪換位置 , 方程不變 , 而且對弧長的曲線積分與積分曲線的方向無關 , 故有 dszdsydsx ??? ??? ?? 222 .3231)(3132222xRdsRdszyx????????? 對稱性在曲面積分中的應用下述結論以一種情形為例 , 其它類型可以類推聊城大學本科畢業論文 14 （ 1）設分片光滑曲面 ? 關于 xoy 平面對稱 , 而 ),( zyxf 是 ? 上的連續函數 , 則 ?????? ???? ?? .),(,0。),(),(,0),(1時當時當zyxfzyxfd x d y d zzyxfzyxfzyxfd x d y d zzyxf 其中 }0,),{(1 ??? xQzyxQ . （ 2）若 Q 關于 xoz 坐標面對稱 , 對于任意 Qzyx ?),( , 則 ????? ?????? ?????? .),(),(,),(2 。 function。 application。),(),(,0),(2時當時當zyxfzyxfd x d y d zzyxfzyxfzyxfd x d y d zzyxf 其中 }0,),{(2 ??? yQzyxQ . （ 3）若 Q 關于 xoy 坐標面對稱 , 對于任意 Qzyx ?),( , 則 ????? ?????? ?????? .),(),(,),(2 。),(,),(2),(1的奇函數為關于若的偶函數為關于若zzyxfzzyxfdszyxfdszyxf (其中 1? 為 ? 在 xoy 平面上側的部分 ). 例 20 求 dszxy )(2??? ?, 其中 ? 為半球面 228 yxz ??? 位于閉區域4: 22 ?? yxD 內的部分 . 解 ? 關于坐標面 0?x 和 0?y 對稱 , 而 xy 是關于變量 x , 也是關于變量 y 的奇函數 , 所以 0???? dsxy . 從而 ,原式 = dsz???2 = d x d yyxyxD 2222 8 22)8( ??????? ).24(332822 20 220???? ????? drrrd （ 2）設分片光滑的閉曲面 ? 關于 xoy 平面對稱 , 法方向取外側 , 而 ),( zyxf是 ? 上的連續函數 , 則 ?????? ???? ?? .),(0。),(),(,0),(時當時當聊城大學本科畢業論文 13 其中 }0,),{(1 ??? xLyxL . （ 2）若 L 關于 x 軸對稱 , 則 ? ?????? ??????LL yxfyxfdsyxfyxfyxfdsyxf2.),(),(,),(2。()2(,0)(xfxafdxxfxfxafdxxfcaacaca 例 7 求積分 ?? ??? 22 22 2)( dxxxxI. 解 212 2 222 2 2 22 IIdxxxdxxxI ?????? ?? ??. 因為 022 1222 ??? Ixxxx 為偶函數，所以為奇函數， . 從而 , ? ???? 20 222 22 dxxxII . 令 tx sin2? , 則 ? ????? 20 22 2)s in1(s in8 ? ?dtttI . 例 8 計算 ?? ?? 211 dxxx . 解 ? ? ?? ? ? ?????? 222 11111 dxxxdxxdxxx ? ??? 2 01 12 dxx 3][arc s in2 ??? x . 例 9 求 ? ??0 2cos1 sin dxxxx. 解令 ux ??2? , 則原式 ? ? ?? ? ? ???????222222 222 s i n1c os2s i n1c oss i n1c os)2(???????? duuuduuuuduuuu ? ??? 20 2s in1co s0 ?? duuu 聊城大學本科畢業論文 9 20]sinarc tan[ ?? u? 42??. 例 10 計算 ?? ??4421cos?? dxe xx. 解因積分區間關于原點對稱 , 可用公式 ? ?? ???aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)(, 于是 , 原式 ? ???? ?40 22 )1co s1co s(? dxe xe x xx ? ?????40 2 )1 11 1(co s? dxeexxx ?? 40 2cos? xdx )2(81 ?? ? . 對稱性在重積分中的應用關于對稱性在重積分中有如下定理：定理 8 設 ),( yxf 在有界閉區域 D 上連續 , （ 1）若 D 關于 y 軸對稱 , 對于任意 Dyx ?),( , 則 ????? ?????? ???? .),(),(,),(2 ),(),(,0),(1時當時；當yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 1 ??? xDyx

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