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高等數學-第9章---(偏導數-全微分)-在線瀏覽

2025-09-22 18:40本頁面

　　

【正文】 ????函數 ),( yxfz ? 的二階偏導數為純偏導混合偏導二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數 . 三、高階偏導數設 13 323 ???? xyxyyxz ，求22xz??、xyz???yxz???22yz??及33xz??. 解 xz?? ,33 322 yyyx ???yz?? 。182 3 xyx ??33xz?? ,6 2y?xyz???2 .196 22 ??? yyxyxz???2 ,196 22 ??? yyx例 6 定理如果函數 ),( yxfz ? 的兩個二階混合偏導數xyz???2及yxz???2在區域 D 內連續，那末在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等．具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？問題：混合偏導數都相等嗎？ ,22yxxxu?????,22yxyyu????,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu???????????.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu?????????????????2222yuxu .0?2222222222)()( yxyxyxxy?????例 7 驗證函數 22ln),( yxyxu ??滿足拉普拉斯方程 .02222?????? yuxu解 221 ln ( ) ,2 xy??例 8 證明函數 ru1?0222222?????????zuyuxu ,其中 222 zyxr ???滿足方程證明 ,)( 212222221 ??????? zyxzyxuxzyxxu 2)(21 23222 ??????? ?2322222)( ??????? zyxx u.31 523 rxr ???23222 )( ?????? zyxxxzyxx 2))(23( 25222 ?????? ?由于函數關于自變量的對稱性，所以 .31 ,31 5232252322rzrzuryryu ??????????因此 222222zuyuxu????????52223)(33rzyxr?????033 523 ???? rrr因此函數 ru1? 滿足方程 0222222?????????zuyuxu 一、全微分的定義二、可微的必要和充分條件三、全微分在近似計算中的應用四、小結 Δx Δy x y 如圖，一邊長分別為 x、 y的長方形金屬薄片，受熱后在長和寬兩個方向上都發生變化，分別為 Δx、 Δy，那么該金屬薄片的面積 A改變了多少？ xy)yy)(xx(A ???? ???yxyxxy ???? ??????ΔA稱為面積函數 A=xy的全增量

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