[所有分類]第7章信號與系統控制的復頻域分析(已改無錯字)

　　

【正文】 考慮nm 的限制，應將特征方程中不含 T 的項作為新系統開環傳遞函數的分子，而把含 T 的項作為新系統開環傳遞函數的分母，即有 0)( )(1 ?? sQ sPa)1()()()(??? sTsssHsG)()(2 ????? ssssT0)10( 26101 22?? ??? ssT ss? 可畫出 變化時的參量根軌跡，如圖 。 ? 2） 多回路系統的參數根軌跡 ? 繪制多回路系統的參數根軌跡時，可以先求出多回路系統的總開環傳遞函數，再根據特征方程得到式（ ）的形式，最后繪制出多回路系統的根軌跡；也可以由 內而外逐層完成。 051z2z?j?[ S ]???2 ?? ?2,1p3p 1 0最佳阻尼線1s2s3s?圖 例 jz ??? 52,1 02,1 ?p 103 ??p可求出 新系統的兩個開環零點與三個開環極點分別為 )0(1 ??：T改變圖 ，即得到 )0( ??：T如圖 所示。 變化時的參量根軌跡， ? 3）正反饋回路的根軌跡 ? 對于正反饋系統，其閉環特征方程為 ? （ ） ? 根軌跡方程為 （ ） ? 對應幅值方程為 （ ） ? 相角方程為 （ ） ? 正反饋回路的根軌跡常被稱為 0176。 根軌跡，而負反饋回路的根軌跡則稱為 180176。 根軌跡。 ? 經過修改后的有關法則變為 ? 法則四：實軸上的根軌跡區段 ? 實軸上某區段存在根軌跡的條件是其右側開環零點與開環極點的數目之和為偶數。 0)()(1 ?? sHsG1)()( ?sHsG111 ??????｜｜Π｜｜ΠiniimipszsK),2,1,0(2)()( 11 ???????????? ?? kkpszs iniimi ?? 法則五：根軌跡的漸進線 ? n – m 根軌跡趨向無窮遠處的漸近線與正實軸的夾角為 ? （ ） ? 法則六：根軌跡的起始角與終止角 ? 起始角為 （ ） ? 終止角為 （ ） ),2,1,0(2 ?????? kmn ka ??)()(11 jinijjjimjpppzpi???????????θ)()(11 jimijjjinjzzzpzi????????????而漸近線與實軸交點的計算公式則仍然不變。 利用根軌跡分析系統的性能 ? 1. 系統閉環零、極點分布與系統性能的關系 ? 2. 主導極點與偶極子的概念 ? 主導極點：對系統的動態性能起著決定作用的極點即為主導極點。 ? 離虛軸最近的閉環極點（復數極點或實數極點）能夠對系統的動態性能產生主導作用，故成為系統的主導極點；而離虛軸較遠的其它閉環極點，對系統的動態性能影響不大，往往允許忽略，這些次要極點離虛軸的距離一般比主導極點離虛軸的距離大 5 倍以上。有時甚至對于只比主導極點離虛軸的距離大 2～ 3倍的次要極點亦可忽略不計。 ? 偶極子：一對挨得很近的閉環零、極點即為偶極子。 ? 可以認為，偶極子中閉環極點對系統性能的影響，完全被偶極子中的閉環零點抵消了。 ? 例如，某單位反饋系統的閉環傳遞函數為 ? 有 n = 4 ， m = 1 ，且 ， ， ， ；在分析其動態性能時，可認為 s3 與 z1 構成了偶極子， s4 為允許忽略的次要極點， 共軛極點則成為主導極點。因此，可將此四階閉環系統近似成閉環傳遞函數為 )8)(6)(22()()()()(2 ???????ssssssFsYsΦjs ??? 12 63 ??s 84 ??s ??z22)(2 ???? sss的二階系統，使系統的分析計算簡化。 ? 3. 利用根軌跡分析系統的性能 ? 系統的根軌跡分析主要包括：系統的穩定性分析；利用主導極點與偶極子的概念把高階系統近似為一、二階系統；定性分析參數變化對近似的一、二階系統的性能的影響，并定量估算系統的性能指標；或者按照系統性能指標的要求，確定主導極點及其對應的 K* 值；必要時可以通過配置附加閉環零點產生新的偶極子，以確保系統性能指標要求的實現。 ? 1）系統的穩定性分析 ? 利用系統穩定的數學條件 ，可以由系統根軌跡 直接進行系統的穩定性分析 。 ? 2）參數變化對系統性能影響的定性分析 ? 系統的根軌跡繪制完成后，就可以通過根軌跡定性分析參數變化對系統性能的影響 。 一般存在單調衰減 、 單調發散 、衰減振蕩、發散振蕩、等幅振蕩等情況； 0]R e[ ?is在 [s]平面上的位置， ? ① 單調衰減 ? ② 單調發散 ? ③ 衰減振蕩 ? ④ 發散振蕩 ? ⑤ 等幅振蕩 ? 3）系統性能指標的定量估算 ? 利用主導極點與偶極子的概念把高階系統近似為一、二階系統后，不僅可以按近似的一、二階系統進行定性分析，而且可以直接按一、二階系統的有關公式進行調節時間、峰值時間與超調量的定量估算；如果把高階系統按三階系統近似并估算性能指標，則可以減少近似誤差。 ? 4）附加閉環零點的配置 ? 配置附加閉環零點的目的應是針對閉環系統的壞極點 —— 靠近虛軸或原點的閉環極點，使附加零點與之構成偶極子，以削弱甚至完全抵消這種壞極點對系統動態性能的惡劣影響。 ? ? 要配置附加閉環零點而不是開環零點。 主導極點 is 離原點越遠， 動 態衰減越快，系統的快速性越好； 閉環極點 is為正實根，系統瞬態響應將是單調發散的 ； 根軌跡 在 [s] 左半平面內 ， 1?iis、 必共軛，瞬態響應呈 衰減振蕩； 在 [s]右半平面有 軌跡， 1?iis、 含正實部 ， 響應將呈 發散振蕩 ； 共軛， 軌跡 在虛軸時， 1?iis、 為共軛虛根 ， 瞬態響應將呈臨界 等幅振蕩 。 jz ??? 52,12,1P例 試由 例 參量根軌跡，分析系統的動態性能。 解：下面主要分析 T 參數變化對該系統性能的影響。在構造新系統前、后 的系統結構圖可分別用 圖 a. 與圖 b. 表示。 圖 構造新系統前、后的系統結構圖 由 圖 ，原系統并沒有 開環 零點與 閉環零點，因此， 構造新系統 后產生的兩個開環零點 對照 圖 新系統 的 參變量根軌跡，可知當參變量 T 0 且 為有限值時， 系統是穩定的； 當根軌跡與最佳阻尼線相交時，系統可等效為二階，具有較好的動態性能； 而當 T 增大到一定值后，由于 原系統沒有 閉環零點，因此無法產生偶極子， 所以靠近 （即 原點 ）的閉環極點將成為 主導極點 ， 系統 動態性能將很差 。 )1) ( T1s ( 0 . 1 s ?? s2 . 6F ( s ) Y ( s ))1 0(T ?sss + 1 0 s + 2 . 6F ( s ) Y ( s )a .b .22肯定不是原系統的閉環零點。 圖 a. 中， T 正是慣性時間常數，如果太大，系統動態性能肯定很差。 ? ⑸ 根軌跡分析的試探法 ? 根軌跡分析的試探法是一種常用的方法 ， 一般分兩步完成 。 ? 首先由相方程試探并確認所期望的閉環極點是否在真正的根軌跡上 。 只有完全滿足相方程的點才在真正的根軌跡上 。 ? 接著就可以應用模 方程進一步確定這些滿足相方程的點所對應的根軌跡增益 K* 或開環增益 K 的值。 例 若系統開環傳遞函數 )44)(44()()( jsjssKsHsG??????如圖 ， 其 所示 ， 試確定滿足阻尼比 ?? 時的 K* 值。 4 044)(31ps ??)(11ps ??)(21ps ??o60?? 阻尼線1s2s3s1p2p3p?[ S]?j圖 例 根軌跡 r c c o sa r c c o s ?????解：利用 在圖 跡相交， 阻尼線與根軌 2,1s1s3,2,1p得到交點 ； 連接 與三個 的向量連線 ， 并測量各 角；若滿足 開環極點 向量的相 o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps1s 3,2,1p1))()((312111???? ? ｜｜ pspsps K |||||| 312111 pspspsK ???????|| 11 ?? ps || 21 ?? ps || 31 ?? ps ?????K2,1s 3s??o312111 1 8 0)()()( ????????? pspsps ??1s232 )44)(44( *lim)()(lim 00 ???????? ?? jsjss sKsHsGK ssV1s n?? 21 ?? ?n ?? n? n??,%? st則可進一步測量 與三個開環極點 的距離，代入模方程，則有 即 由測量值 ， ， 可得 為主導極點，負實極點 系統可近似為二階系統；而且近似二階系統的阻尼比 ，則要沿著期望的 而且，根據 K* = 時 的測量值 、 及 ，可確定近似二階系統的 值，由 即可求出對應的超調量 與調節時間 。 。 即： K* = ，共軛極點 為次要極點，原三階 。 如果各向量的相角 不滿足 阻尼線， 試探、調整 的位置，直至滿足或基本滿足相方程為止。 差為 另外，本系統為 Ⅰ 型系統，當 K* = ，系統在跟蹤斜坡輸入時的穩態誤 離散信號與系統控制的復頻域分析 ? Z 變換 ? 用 Z變換解差分方程 ? 信號的采樣與恢復 ? 離散系統的脈沖傳遞函數 ? 離散系統的表示和模擬 ? 離散系統的頻率響應 ? 離散系統的性能分析 Z 變換 ? 1） 從拉普拉斯變換到 Z變換 對連續信號 進行理想抽樣得到抽樣信號 : 對抽樣 信號 fs(t) 取雙邊拉普拉斯變換，有 慮 T = 1 時，常用 f (k) 表示 f (kT) ，則上式可為 （ ） 式（ ）稱為的雙邊 Z變換。復變量 z 和 s 的關系則為 由復變函數有 F(z) 的雙邊 Z逆變換 )()()()()()()( kTtkTfkTttfttftfkkTs ????? ????????????????????kkzkTfzF )()(???????kkzkfzF )()(?????zTsez sTln)/1(? ?? C k zdzzFjkf 1)(2 1)( ?? 2） 雙邊 Z變換的定義和收斂域 ⑴ 雙邊 Z變換的定義 對于離散序列 f(k)(k =