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自動(dòng)控制根軌跡極點(diǎn),零點(diǎn)-文庫吧

2026-04-01 08:26 本頁面

【正文】必有 S= ，即起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng) ，必有 S= ，即終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。 01?K??1Kipjz 但在控制系統(tǒng)中，總有 nm，所以根軌跡從 n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處起始，到 m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的 nm條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。舉例如題，，起點(diǎn)： 0、 1，無零點(diǎn)， n=2， m=0， nm=2，有兩條根軌跡 →∞ )1()( ?? SSKSGK= K=0 K=0 K ∞ K ∞ 1 jω σ ??????? niimjjpszsKSHSG111)()()()(0)()(1 ?? SHSG167。４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則三．根軌跡的分支數(shù) 根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。四．實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。為在實(shí)軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在和之間任選一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn) 。 3p1z1s2p3p1p1s1zj ωσo *167。４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到的幅角之和為0176。，相互抵消，因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對實(shí)軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)。若實(shí)軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗(yàn)點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角為 0176。 ,而右側(cè)的相角為 180176。。點(diǎn)滿足相角條件，所以～之間是根軌跡。 1s1s3p1z2p3p1p1s1z ????j ωσo * 2 4 例 41： )4)(2()3)(1()( 1?????SSSSSKSG （單位反饋） ① ∵ 有三個(gè)極點(diǎn)， ∴ 根軌跡有三條分支 σ jω ② ∵ n=3, m=2 ∴ 有 32=1條根軌跡 →∞ ， 2條終止于開環(huán)零點(diǎn)。 ③ 在實(shí)軸上不同段上取試驗(yàn)點(diǎn) o o 3 1 167。４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則五．根軌跡的漸近線根軌跡中（ nm）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為 mnqa ????? 1 8 0)12(? ,2,1,0?q … ，（ nm1) 當(dāng) 時(shí)，求得的漸近線傾角最小； 0?qq 增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有 (nm)條 167。４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) mnzpnimjjia ???? ?? ?1 1? 漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即必為實(shí)數(shù)。在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可。 a?開環(huán)零點(diǎn)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)的實(shí)部之和開環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部???a?例 42 )2)(1()()(1??? SSSKSHSG 求根軌跡解： ①在Ｓ平面中確定開環(huán)零、極點(diǎn)的位置。 1 2 σ jω ② 確定實(shí)軸上的根軌跡。 ③ n=3,m=0,應(yīng)有三個(gè)分支，并且都趨向無窮遠(yuǎn)處。 ④ 確定漸近線的位置 ???????????????????????????180,160,03180)12(180)12(103210321aaaaqqqmnqmnppp???? 2j2j?K1=6 K1=6 60176。 60176。 167。４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則六、分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 兩條根軌跡分支在 S平面上某一點(diǎn)相遇，然后又立即分開的點(diǎn)，稱根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。它對應(yīng)于特征方程中的二重根（如例 42，實(shí)軸上的根軌跡要從某一點(diǎn)分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠(yuǎn)處，把分離點(diǎn)所對應(yīng)的Ｋ 1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。 ∵ 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對稱， ∴ 分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù) 常見的分離點(diǎn)或或會(huì)合點(diǎn)位于實(shí)軸上。求方程式的根，可以確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn) 。 01 ?dsdK167。４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則例 42，求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為或 0)2)(1(1)(1 1 ?????? sss KsG)2)(1(1 ???? sssK0)263( 21 ????? ssdsdK上式的根 ,6243662,1 ???????s因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在 0至 1之間，故為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄 ??s ??s用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益： ?????????? sssk 1 2σjω 0 . 4 2 32j2j?K 1 =6K 1 =6 60 176。60 176。176。176。七、根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 當(dāng) 增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過虛軸，進(jìn)入右半 S平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。可以用代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。 1K1K?js?續(xù)例 42，將代入特征方程。 ?js ?0230)23(0)2)(1(123121??????????????KjjKjjKjjj?????????當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 2j?61 ?K實(shí)部虛部 63,2020321321?????????????KK 1 2σjω 0 . 4 2 32j2j?K 1 =6K 1 =6 60 176。60 176。176。176。在確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近

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