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極限的四則運算函數的連續性-文庫吧

2025-11-01 05:14 本頁面

【正文】續、f(x)在x0點右連續）函數f(x)在開區間（a,b）上的連續函數f(x)在閉區間[a,b]上的連續2．函數的間斷點分類● 跳躍式間斷點：函數f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等。● 函數在點x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點的函數值（或函數值在該點無定義）● 振蕩間斷點：f(x)在點x0的左右極限至少有一個不存在。3．連續函數的和、積、商，初等函數的連續性● 有限個在某點連續的函數的和是一個在該點連續的函數。● 有限個再某點連續的函數的積是一個在該點連續的函數。● 兩個在某點連續的函數的商事一個在該點連續的函數（分母在該點不為零）● 一切基本初等函數在定義域（或定義區間）上是連續的。4．閉區間上的連續函數的性質●（最大、最小定理）在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。●（有界性定理）在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界。●（零點定理）設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號（即f(a)f(b)● 介值定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的端點處取不同的函數值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使得f(b)=C(a【注】函數的連續性，一般在客觀題目中出現，分值不大，一般1~2題。典型例題分析【例1】（2010年真題）（工程類）計算極限limxsinx= x174。0x+sinx=1這一重要極限。如此，我們不難解x174。0xsinxsinx11limxsinxx174。0==0。=limx174。0x+sinxx174。01+1+limx174。0xxxcx)=e6,則常數c=_________。【例2】（2010年真題）（工程類）設lim(x174。165。x+c1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運用lim(1)=。x174。165。xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握lim2cxxcx2cx2+ccx+clim()=lim(1)=limex174。165。x+cx174。165。x174。165。x+c2c1+c=e2c=e6。則c=3。1236。182。239。xsin,x185。0【例3】（2009年真題）（工程類）設f(x)=237。若f(x)在點x=0處連續，則αx239。238。0,x=0的取值范圍是A．(∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)【解析】函數f(x)為一個分段函數，要使其在點x=0處連續，只需limxsinx174。0182。1=0，不難x發現x→0時，sin x 為有界的，我們只需滿足limx=0即可。易得，α0。但α不能等于x174。0182。0，否則limsinx174。01185。0。x提高訓練求下列函數的定義域（1）y=（2）y=1 2x2x（3）y=lg(3x+1)(4)y=1+ 1x2判斷一下函數的奇偶性ax+ax(1)y = tan x(2)y=a(3)y= 2x求下列函數的極限1x3+4x2(1)lim(3x1)(2)lim3(3)limxsinx174。3x174。0x174。0x+xxsin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1+)x174。0x174。165。x174。01cosxxx236。1239。ex,x0239。239。討論f(x)=237。0,x=0在x=0點的連續性。x0證明方程x3x=1至少有一個根介于1和2之間。【答案】（1）[1,1](2)(∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(1/3,+∞)(4)[2,1)∪(1,1)∪(1,+∞)（1）奇（2）非奇非偶（3）偶（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）1連續證明：記f(x)=x3x1，f(1)=30。由零點存在定理知，至少存在一個零點介于1和2之間。即方程x3x=1在1和2之間至少有一個根。555第三篇：函數的極限及函數的連續性典型例題函數的極限及函數的連續性典型例題一、重點難點分析：①此定理非常重要，利用它證明函數是否存在極限。② 要掌握常見的幾種函數式變形求極限。③ 函數f

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