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極限的四則運算函數的連續性-資料下載頁

2025-11-06 05:14本頁面

　　

【正文】再有界閉區域D上連續，則它在D上必有最大值和最小值。nP0和P1是D內任意兩點，f是D內的連續函數，零點存在定理設D是R中的一個區域，如果f(P0)0，f(P1)0，則在D內任何一條連結P0,P1的折線上，至少存在一點Ps，使f(Ps)=0。五二重極限和二次極限在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x174。x0y174。y0外，我們還要討論當x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：若對任一固定的y，當x174。x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)=j(y),而j(y)在y174。y0時的x174。x0極限也存在并等于A，亦即limj(y)=A，那么稱A為f(x,y)先對x，再對y的二次極限，記為y174。y0limlimf(x,y)=A．y174。y0x174。x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．x174。x0y174。y0上述兩類極限統稱為累次極限。注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯系。例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設11236。xsin+ysin239。yxf(x,y)=237。239。0238。x185。0,y185。0x=0ory=0由f(x,y)163。x+y 得limf(x,y)=0（兩邊夾）。由limsinx174。0y174。0y174。01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設134《數學分析（1，2，3）》教案f(x,y)=xyx2+y2，(x,y)185。(0,0)由limlimf(x,y)=limlimf(x,y)=0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。x174。0y174。0y174。0x174。0x174。0y174。0例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設f(x,y)xx22y+y22，(x,y)185。(0,0)則 limlimf(x,y)=1，limlimf(x,y)=1。limlimf(x,y)185。limlimf(x,y)（不可交換）x174。0y174。0y174。0x174。0x174。0y174。0y174。0x174。0上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯系。定理1 設（1）二重極限limf(x,y)=A；（2）y,y185。y0，limf(x,y)=j(y)。則x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0limj(y)=limlimf(x,y)=A。y174。y0x174。x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1設（1）limf(x,y)=A；（2）y,y185。y0，limf(x,y)存在；（3）x,x185。x0，limf(x,y)x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限limf(x,y)。y174。y0x174。x0x174。x0y174。y0x174。x0y174。y0推論2 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限limf(x,y)必不存在（可x174。x0y174。y0y174。y0x174。x0x174。x0y174。y0用于否定重極限的存在性）。例：求函數f(x,y)=xy22222xy+(xy)在(0,0)的二次極限和二重極限。135第五篇：167。復變函數的極限和連續性167。復變函數設E204。163。:E174。163。為復變函數,也可用w=f(z)=x+iy,w=u+iv,則w=f(z)=f(x,y)=u(z)+iv(z)=u(x,y)+iv(x,y).于是,復變函數w=f(z)的極限、連續、一致連續等概念就是映射(u,v):E174。163。=z+2z2i,y=,故一般將w=f(z)理解為以z,為自變量的函數,即w=f(z,)=u(z,)+iv(z,).以后將看到,這樣做會帶來很多方便,并且具有“復風格”.(P33)3,4,5.

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