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微分方程及其應(yīng)用ppt課件-wenkub

2022-11-18 21:15:53 本頁面

　

【正文】所以 yp+ yc 確為方程 (1)的解．又 yc 中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) ，所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨(dú)立的任意常數(shù) ，故 y = yp+ yc 為方程 (1)的通解． ? ? (1)y p y q y f x?? ?? ? ?設(shè)? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0p c p c p cp p p c c cy y p y y q y yy py qy y py qyf x f x??? ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ?1 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的解定理 3 若 y1為方程 y2為方程 ? ?2 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的解則 y = y1 + y2 為方程 ? ? ? ?12 ( 3 )y p y q y f x f x?? ?? ? ? ?的解 . 證：將 y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2y y p y y q y y??? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 2 2 2y p y q y y p y q y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?12f x f x? ? ? 右端二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?設(shè)其中 p, q 為常數(shù) . 令方程 (2)的解為 rxye?（ r為待定常數(shù)）代入方程 (2)得 2 0r x r x r xr e p r e q e? ? ?0rxe ? ? 02 ??? qprr (4) 由此可見，只要 r滿足方程 (4)，函數(shù) rxye?就是方程 (2)的解．定義稱方程 (4)為微分方程 (2)的特征方程，方程 (4)的兩個(gè)根 r1 , r2 稱為特征根．由于特征方程 (4)的兩個(gè)根 2422,1qppr ???? 只能有三種不同情形，相應(yīng)地，齊次方程 (2)的通解也有三種不同的形式． ① 當(dāng) Δ = p2 4q 0時(shí)，特征方程 (4)有兩個(gè)不相等的實(shí)根 r1≠ r2 ．由上面的討論知道 1212r x r xy e y e??與是方程 (1)的兩個(gè)解．又 y1與 y2線性無關(guān)，因此方程 (2)的通解為 : 1212r x r xy C e C e??② 當(dāng) Δ = p2 4q = 0時(shí)，特征方程 (4)有兩個(gè)相等實(shí)根 r = r1 = r2 ．我們只能得到方程 (1)的一個(gè)解 rxey ?1? ? ? ? ? ?2 2 1, rxy u x y u x y u x e? ? ?設(shè) 即對 y2求導(dǎo)得 ? ?? ?222 2r x r x r xrxy u e u r e u r u ey u r u r u e? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ?222,yyy? ??將代入方程 (2)，得 ? ? ? ?? ? 02 2 ?????????? quruupururue rx0rxe ?? ? ? ?220u r p u r p r q u?? ?? ? ? ? ? ? ?又 r是特征方程的二重根， 22 0 , 0r p r p r q? ? ? ? ?所以0???u因?yàn)?u(x)不是常數(shù)，不妨取 u(x)= x，這樣得到方程（ 2）的另一個(gè)解 2 ,rxy xe? 從而方程（ 2）的通解為 ? ?1 2 1 2r x r x r xy C e C x e C C x e? ? ? ?③ 如果 Δ = p2 4q 0，即特征方程 (4)有一對共軛復(fù)根 ? ?12 ,0r i r i? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?12 ( 2 ) .i x i xy e y e? ? ? ?????則和是方程的兩個(gè) 復(fù) 數(shù) 形式的解為了求出方程 (2)的兩個(gè)實(shí)數(shù)形式的解，利用歐拉公式 c o s s i niei? ????將 y1與 y2分別改寫為 ? ?? ?12c o s s i nc o s s i nx i x xx i x xy e e e x i xy e e e x i x? ? ?? ? ??????? ? ?? ? ?由定理 1知， ? ?? ?1211221c os21sin2xxy y y e xy y y e xi????? ? ?? ? ?仍是方程 (2)的解，這時(shí) 21s i n t a nc osxxy ex xexy??? ????不是常數(shù)， 1212 ( 2 ) .y C y C y??所以是方程的通解? ?1 2 1 2c o s s in c o s s inx x xy C e x C e x e C x C x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即綜上，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的步驟如下：第一步寫出方程的特征方程 2 0。如 y = x2 + 2是方程（ 1）的解 , 顯然 y = x2 + C 也是方程（ 1）的解 . （ 2）如果微分方程的解中所含獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù) ，這樣的解稱為微分方程的通解 . 如 y = x2 + C 是方程（ 1）的通解 . 4．微分方程的初始條件和特解（ 1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件；一般地一階微分方程的初始條件為：二階微分方程的初始條件為： 0 0xxyy? ?0 0 0 0 1(xxy y x y y? ? ，，為給定值 )0 1xxyy?? ?（ 2）由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解，稱為微分方程的特解。第六章微分方程及其應(yīng)用常微分方程的基本概念與分離變量法一階線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程常微分在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用常微分方程的基本概念與分離變量法微分方程的基本概念 1. 微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。如 y = x2 + 2是方程（ 1）的特解 . 2 11 2 1 0 ? ,2?y C x x y y?? ? ? ? ?例函數(shù) 是方程的解嗎若是解是通解還是特解2 1 22y x y C x?? ? ?解將及代入所給方程左端得2 2 2 212 2 1 2 2 1 1 02C x C x C x C x??? ? ? ? ? ? ? ?????2 1 .2y C x? ? ? 是所給方程的解2 12y C x??又中含有一個(gè)任意常數(shù) C，而所給方程又是一階微分方程， 2 12y C x? ? ? 是所給方程的通解 . ? ?12002 1 011xxxy C x C e x y x y yyy???? ?? ? ? ? ? ??? ? ?例驗(yàn) 證是微分方程的通解 ,并求出滿足初始條件及的特解 .1 2 1 2 2,:x x xy C x C e y C C e y C e?

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