高一數(shù)學(xué)立體幾何基礎(chǔ)題題庫-wenkub

　

【正文】 00，求三棱錐P—OBC的側(cè)面積。395. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=900，∠BAC=300，BC=1，AA1=，M為CC1中點，求證：AB1⊥A1M。 （3）連結(jié)HC，由（2）知C1H平面ABC， ∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角， ∴∠C1CH=60176。 在Rt△POE中，sin∠PEO=， ∴∠PEO=，即側(cè)面與底面所成的角為.394. 如右圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60176。．PABC393. 正四棱錐的一個對角面與一個側(cè)面的面積之比為，求側(cè)面與底面所成的角的大小。390. 已知α∩β=C，a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求證：a⊥EF解析：b∥a,b,aα, ∴b∥α又bβ，α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b 又AE⊥b, AE∩AF=A ∴b⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEFEF平面AEF ∴a⊥EF391. 如圖，△ABC為銳角三角形，PA⊥平面ABC，A點在平面PBC上的射影為H，求：H不可能是△PBC的垂心．解析：連結(jié)CH，則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影，若H為垂心，則CH⊥PB，由三垂線定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，從而AC⊥AB與△ABC為銳角三角形矛盾，故H不可能是垂心．392. 如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長等于點P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．（1）求PB與平面BCD所成角；（2）求BP與平面PCD所成的角解析：（1）PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂線定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，cos∠DBP= ∴∠DBP=45176?！郟A＝AD，由△PAM≌△CBM得PM＝CM，∵N為PC中點，∴MN⊥PC．又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．388. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PCD是邊長等于2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2cm2的菱形，∠ADC是銳角. 求證：PA⊥CD證明：設(shè)∠ADC=θ，則：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60176。）；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”，則只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影．證明　（１）取AD的中點E，連AC，CE，則ABCE是正方形，△CED為等腰直角三角形．∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；解　（２）連BE交AC于O，則BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．過O作OH⊥PC于H，連BH，則BH⊥PC．∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，則OH＝，∵BO＝，∴BH＝383. 四面體ABCD的四個面中，是直角三角形的面至多有 （ ）（Ａ）１個 （Ｂ）２個（Ｃ）３個 （Ｄ）４個解析：（D）設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個銳角頂點作平面的垂線，則這樣的四面體的每個面都是直角三角形．384. 直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，直角頂點C在平面α外，C在平面α內(nèi)的射影為C1，且C1AB，則△C1AB為 　（ ）（Ａ）銳角三角形 （Ｂ）直角三角形（Ｃ）鈍角三角形 （Ｄ）以上都不對解析：（C）∵C1A2+C1B2CA2+CB2 ＝AB, ∴∠AC1B為鈍角，則△C1AB為鈍角三角形．385. △ABC在平面α內(nèi)，∠C＝90176。 ∴P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點H。369. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M為棱CＣ1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD．解析：要證A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD內(nèi)找到兩條相交直線與A1O都垂直，首先想到DB，先觀察 A1O垂直DB嗎？方法１：發(fā)現(xiàn)A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否為等腰三角形）∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．方法２：A1O⊥DB嗎？即DB⊥A1O嗎？DB垂直包含A1O的平面嗎？（易見DB⊥平面A1ACC1）再觀察A1O垂直何直線？DM？BM？因這兩條直線與A1O均異面，故難以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到MO，因MO與A1O相交，它們在同一平面內(nèi)，這是一個平幾問題，可畫出平幾圖進行觀察．證明　取CC1中點M，連結(jié)MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA＋∠MOC＝９０176。=.363. 湖結(jié)冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，求該球的半徑.解析：設(shè)球的半徑為R，依題意知截面圓的半徑r＝12,球心與截面的距離為d＝R8，由截面性質(zhì)得：r2+d2＝R2,即122+(R8)2＝R2.得R＝13 ∴該球半徑為13cm.364. 在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示).解析：由題意知，光線與地面成60176。從而ΔS′VA為等邊三角形，同理ΔS′VD也是等邊三角形，從而ΔS′AD也是等邊三角形，得到以ΔVAD為底，以S′與S重合.這表明ΔVAB與ΔVSA共面，ΔVCD與ΔVSD共面，故共有5個暴露面.362. 若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .(只須寫出一個可能的值)解析： ，實際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個四面體的能力，首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四面體，再求其體積.由平時所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四面體.對于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1，取AD的中點為M，平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐，由對稱性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCMAD.CM===.設(shè)N是BC的中點，則MN⊥BC，MN===，從而SΔBCM=2=，故VABCD=1=.對于對棱相等的四面體，=角，設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S′，則Scos30176。∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．370. 點P在線段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距離分別為a，b，求點P到平面α的距離．解析：（１）A，B在平面α的同側(cè)時，P平面α的距離為；（２）A，B在平面α的異側(cè)時，P平面α的距離為．點評　一是畫圖時，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對第（２）種情形，若以平面為“水平面”，在其上方的點高度為正，在其下方的點高度為負，則第（２）種情形的結(jié)論，就是將（１）結(jié)論中的b改為(－b)，而無需再畫另一圖形加以求解．371. 若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面 （　）（Ａ）有且只有一個 （Ｂ）可能存在也可能不存在（Ｃ）有無數(shù)多個 （Ｄ）一定不存在（Ｂ）解析：若存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直．372. 在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于 （?。ǎ粒〢C 　（Ｂ）BD ?。ǎ茫〢1D ?。ǎ模〢1D1解析：（Ｂ）BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373. 定點P不在△ABC所在平面內(nèi)，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 （　）（Ａ）１個 （Ｂ）２個 （Ｃ）３個 （Ｄ）４個解析：D過P作一個與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374. P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是，則P到A點的距離是 （　）（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）４　解析：（A）設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．375. 線段AB的兩個端點A，B到平面α的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上，AP：PB＝１：２，則P到平面α的距離為　　　　　?。馕觯海穋m或１cm．分A，B在平面α的同側(cè)與異側(cè)兩種情況．同側(cè)時，P到平面α的距離為＝７（cm），異側(cè)時，P到平面α的距離為＝１（cm）．376. △ABC的三個頂點A，B，C到平面α的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們在α的同一側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為　　　 ．解析：3cm ．＝3cm ．377. Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，則ED＝　　　　?。馕觯海保常瓵B＝１０，∴CD＝５，則ED＝＝１３．378. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：（１）A1B與平面A1B1CD所成的角；（２）B1B在平面A1C1B所成角的正切值．解析：　求線面成角，一定要找準斜線在平面內(nèi)的射影．（１）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線，一定要證明它是平面A1B1CD的垂線．這里可證BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影．（２）若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影應(yīng)落在O1B上，這是因為A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H時，BH1⊥A1C1，即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影．另在求此角大小時，只要求∠B1BO1即可．解析：（１）如圖，連結(jié)BC1，交B1C于O，連A1O．　∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影，則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．sin∠BA1O＝，∴∠BA1