傅里葉變換的可視化及應(yīng)用研究-wenkub

　

【正文】 also be written in the form，5. Examples. For simple examples of the application of the theory of Fourier series the reader is referred to elementary texts. Here we shall employ the Fourier series expansion to derive the functional equation of the theta function and a general formula by Poisson. The functional equation of the theta function isTo prove this relation, we set； is evidently a periodic function of y with the period l, which possesses all derivatives with respect to y and which may therefore by expanded in the Fourier series，WithSince the orders of summation and integration may be interchanged for all x0, we obtain for the coefficients : ；For, has the same value along a line parallel to the real axis as along the real axis itself. ( If the Cauchy theorem is applied to the function and to the rectangle with vertices at ,and if T is then made to tend to inifity, the integrals over the vertical sides of the rectangle converge to zero。 Series of the Fundamental follows from the considerations of 167。郭老師治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，對待科學(xué)研究嚴(yán)肅認(rèn)真。 Legk=squeeze(Leg(1,:,:))。 Leg0=legendre(0,cos(Q))。x39。 uout=1./Rout.^(l+1).*Legl。 Uout=1./Rout。Rin(Rin1)=NaN。[Q,R]=cart2pol(X,Z)。figure(2)imshow(x)。new_freq=ifftshift(filt_im)。freq_im=fft2(x)。 if or(abs(iM/2)=D0,abs(iM/2)=D1), filt(i,j)=1。D1=65。F:\39。y = x + 2*randn(size(t))。,39。,39。x1=50:1/10:50。(T/2+k*T/N=tao/2) y(k)=1。y=zeros(1,N+1)。)：N=64。,39。 endy=[H*tao/T,y]。附錄程序：傅里葉系數(shù)計(jì)算：syms x H k tao Tint(H*exp(1i*2*k*pi/T*x)/T,x,tao/2,tao/2)繪制圖像：H=1。通過對理論基礎(chǔ)的對比我們可以看到它們之間的相互聯(lián)系與區(qū)別，知道了傅里葉級數(shù)、廣義傅里葉級數(shù)法的建立基礎(chǔ)，并認(rèn)識到發(fā)展出傅里葉變換、DFT、FFT的理論根基。事實(shí)上，正是由于傅里葉級數(shù)、傅里葉變換、FFT所具有的這個(gè)物理意義才使得其在頻譜分析中得到廣泛應(yīng)用。至此，我們已經(jīng)掌握了入射波、方程及邊界條件的分波形式，得到的分波方程較原方程要簡單得多。我們在已知能量和角動量的共同本征函數(shù)的前提下，將入射波，如形式的平面波，展開為以能量和角動量的共同本征函數(shù)為基的廣義傅里葉級數(shù)③將前幾級次的球面波用命令surf()做出圖像，（作圖程序見附錄） 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖⑤（卷I），：科學(xué)出版社，③，：高等教育出版社，從圖中我們可以清晰的看到各級球面波的對稱性，以及各分量的大小，幅值隨級次增大的變化趨勢等。廣義傅里葉級數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用是用于研究量子力學(xué)中在中心力場作用下的散射問題，與連續(xù)傅里葉級數(shù)的應(yīng)用一樣，廣義傅里葉級數(shù)之所以能應(yīng)用是由于它是所要求解的方程的本征函數(shù)組。我們就用勒讓德函數(shù)的母函數(shù)③展開為勒讓德級數(shù)的例子來看看廣義傅里葉級數(shù)在MatLab中的可視化：：勒讓德函數(shù)的母函數(shù)展開為勒讓德級數(shù)形式。這些函數(shù)與傅里葉級數(shù)對函數(shù)的展開都可一般化的寫為 (411)其中即為廣義傅里葉級數(shù)的k級展開函數(shù)，表示與的內(nèi)積。通過對整個(gè)處理過程的了解我們可以看出，圖像做FFT是為了使得本來交織在一起的原圖像信號與干擾信號在一定程度上剝離開，從而可以更容易的對圖像進(jìn)行處理，去除干擾信號。()得到其頻譜圖。下面我們用一個(gè)更形象具體，更貼近實(shí)際的例子。從圖像中我們可以清晰地分辨出原始信號的主要成分是由頻率為50、70、120的三部分構(gòu)成的，而其他頻率的幅值則是由噪聲引起的。設(shè)原始信號為，伴隨有兩倍的均值為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差為1的服從正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲。因此很大程度上，它是作為一種基礎(chǔ)而有效的近似手段運(yùn)用到連續(xù)傅里葉變換的應(yīng)用領(lǐng)域。事實(shí)上這也很自然的為FFT的實(shí)際應(yīng)用提供了一個(gè)線索。在MatLab中有內(nèi)置的函數(shù)“fft()”及“ifft()”可直接對給定的函數(shù)做FFT及IFFT。FFT主體分為按時(shí)間抽樣FFT算法和按頻率抽樣FFT算法④兩種，但二者殊途同歸，最終都是通過不斷地迭代進(jìn)行蝶形運(yùn)算④從而達(dá)到簡化運(yùn)算量的目的。當(dāng)然DFT與連續(xù)傅里葉變換相比還存在一些差異，只有滿足取樣定理④，即，其中是對函數(shù)等間隔取樣的取樣間隔，是函數(shù)的截止頻率，DFT才不會因?yàn)榻化B而失真，從而能與連續(xù)傅里葉變換較好的吻合。其形式為 （311） 其中，是單位根。由函數(shù)系的正交性，可以從級數(shù)形式的方程中分離出各級展開系數(shù)所滿足的微分方程， 可以看出分離出來的一系列微分方程較原來的微分方程要簡單得多，只是一些二階常微分 方程。眾所周知，這些數(shù)學(xué)物理方程是從許多實(shí)際的問題中提煉出來的，因此解決這些數(shù)理方程本身就是對實(shí)際問題的處理，只要將方程中相應(yīng)的參數(shù)對應(yīng)于實(shí)際問題中的參量，就可以解決實(shí)際問題了。 傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方程中波動方程（如一維波動方程：）、輸運(yùn)方程（如一維熱傳導(dǎo)方程：）的空間部分的本征函數(shù)解構(gòu)成正交完備的三角函數(shù)系，因此可用傅里葉級數(shù)法或傅里葉變換法進(jìn)行求解。用MatLab中的stem()函數(shù)做出基波及各級諧波振幅的直觀圖像，這里令H=1，T=2，圖像如下（計(jì)算、作圖程序見附錄） 方波的傅里葉級數(shù)譜 方波脈沖的傅里葉變換譜從圖中可以清晰地看出基波及各級諧波的振幅對比，振幅隨級次的衰減、變化的趨勢一目了然。同時(shí)也可以看出，變換的展開系數(shù)本身數(shù)值的絕對大小并不具有切實(shí)的物理意義，其相對大小才真正具有意義。以2l為周期的任意周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)形式為： （211） 若滿足狄里克雷充分條件，即：（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅里葉級數(shù)收斂于。同時(shí)，結(jié)合各領(lǐng)域自身的特點(diǎn)，以傅里葉分析為基礎(chǔ)而發(fā)展起來的其他更有效的分析方法也得到了廣泛的實(shí)際應(yīng)用。傅里葉在求解熱傳導(dǎo)方程時(shí)產(chǎn)生的，隨后傅里葉變換、離散傅里葉變換（DFT）應(yīng)運(yùn)而生，并不斷的發(fā)展為一整套傅里葉分析理論體系。19中文譯文12附錄9五、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的意義9 廣義傅里葉級數(shù)的實(shí)際應(yīng)用4 FFT的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)3三、DFT、FFT的可視化及應(yīng)用傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用本文最后還對傅里葉變換的意義做了簡單探討。論文編碼： 首都師范大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)論文傅里葉變換的可視化及應(yīng)用研究 作 者： 吳曉龍 院 系： 物理系 專 業(yè)： 物理學(xué)（師范） 學(xué) 號： 1070600080 指導(dǎo)教師： 郭懷明 日 期： 2011年5月9日 中文提要 傅里葉變換是由實(shí)空間向頻譜空間的變換。關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù) 傅里葉變換 快速傅里葉變換 可視化Abstract Fourier Transform is a kind of transformation from the realspace to frequencyspace. The reason why Fourier Transform is important is that many realistic problems are more easily to be solved in frequencyspace. Specially,the development of Fast Fourier Transform make it more convenient to use. This paper reviews Fourier Series,Fourier Transform, Fast Fourier Transform and Generalized Fourier Series. We discuss the relationship and the difference among them,and introduce their applications in realistic problems,then visualize them in MatLab. Finally，we make some ments on the meaning of Fourier Transform.Keywords：Fourier Series Fourier Transform FFT Visualization目 錄一、引言1二、傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的可視化及應(yīng)用1 傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的數(shù)學(xué)依據(jù)傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)6四、廣義傅里葉級數(shù)的可視化及應(yīng)用8 廣義傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)依據(jù)8 廣義傅里葉級數(shù)的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)18英文原文傅里葉分析在很多方面都有應(yīng)用，但直到快速傅里葉變換（FFT）的誕生才把傅里葉分析推向了高潮。比如小波分析以及Z變換，在信號分析中應(yīng)用都很廣泛。亦可寫為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)： （212）①， of Mathematical Physics（Volume I），Wiley，1989，4950 傅里葉變換 對定義在上的非周期函數(shù)，在傅里葉級數(shù)形式中令半周期可得傅里葉積分公式形式，且若滿足條件：（1）在任意有限區(qū)間內(nèi)滿足狄里克雷條件，（2）在上絕對可積，則的傅里葉積分收斂于。 傅里葉級數(shù)、傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)在給定形式后，運(yùn)用Matlab中的積分命令“int()”②可以實(shí)現(xiàn)對傅里葉級數(shù)、傅里葉變換中系數(shù)的計(jì)算，或運(yùn)用傅里葉變換命令“fourier()”②直接實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，進(jìn)一步作圖可得到傅里葉變換的直觀圖像。我們還可以做一些拓展，來看看傅里葉