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構(gòu)造法與放縮法在不等式證明中的運(yùn)用-wenkub

2024-10-28 03 本頁面

　

【正文】 xj39。時(shí)，h39。)x248。(x)=1231。(0,+165。(3)證明：因?yàn)間(x)=x+xf39。(1,+165。)，令h(x)=1xxlnx，x206。)，xxe當(dāng)x206。(1)=0，因此k=1。()(1)解：由f(x)=lnx+k1kxxlnx()f39。lnx+k例2：(2012山東)（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù)，e=…是ex自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行。123n248。231。230。123n248。1+x1+x1+x1+x1+n232。231。1246。xxx246。x1+x2+L+xn=1xnx12x2(++L+)(n+1)179。(x)=== 222xxx+1x因?yàn)閒(x)=x(x+1)ln(x+1),(x0)由（1）知f(x)0，而(x+1)x20 所以g39。)上單調(diào)遞減。R+，x1+x2+x3+L+xn=1時(shí)，11222x3xnx12x21(+++L+)n()2012 1+x11+x21+x31+xn2013mn解：（1）f39。(x)=1233。=ln(x+1)由ln(x+1)0得ln(x+1)0 ln(x+1)ln1，0x+11，1x0，即當(dāng)1x0時(shí)f39。所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,0)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+165。(x)0，所以g(x)=ln(1+x),(x0)在(0,+165。1 1+x11+x21+xn221122xnx12x21xnx12x21++L+179。230。x+++L+231。247。248。232。1246。247。232。(1)求k的值；(2)求f(x) 的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)=x+xf39。x=，得，x206。(2)解：由(1)得f39。(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x206。(0,h(x)0，又ex0，所以當(dāng)x206。)時(shí)，f39。(x)，所以g(x)=2因此，對(duì)任意x0，g(x)1+e等價(jià)于()x+1(1xxlnx)，x206。)，所以1246。1lnx+x247。232。(x)0，h(x)單調(diào)遞減。(x)=ex1=exe0，所以當(dāng)x206。(0,+165。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。2，放縮時(shí)常使用的方法：①舍去或加上一些項(xiàng)，即多項(xiàng)式加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，或多項(xiàng)式減上一些正的值，多項(xiàng)式的值變小。N,k1)1111，22kkk(k1)k(k+1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。a1+a+b1+b本節(jié)小結(jié)：第四篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在。例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc(bc)2+(ca)2+(ab)2≥ b+cc+aa+b1 [(ab)2+(bc)2+(ca)2]3證明：由不等式的對(duì)稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3abc0,3bca≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評(píng)析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。R+.由題意得：xyz=1。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a

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