放縮法(不等式、數列綜合應用)-wenkub

　

【正文】 引用源。使得錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。試求數列錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。為等差數列；⑵ 設錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。錯誤！未找到引用源。希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.第二篇：放縮法證明數列不等式放縮法證明數列不等式基礎知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反的現象。…3+3180。229。1時,0ak+2163。(akak+1)ak+2.232k=1n證明 Q0a1163。N*).424222此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。(+2+...+n)=(1n), a2a3an+12322223223an1aan\1+2+...+n(n206。添加或舍棄一些正項（或負項）例已知an=2n1(n206。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。“放縮法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。N*).23a2a3an+12若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。n11112,an+1=an,\a2=a12163。a3163。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過對因式ak+2放大，而得到一個容易求和的式子逐項放大或縮小229。4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對于整數k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。即通項公式為錯誤！未找到引用源。另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。① 判定錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。若當錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。其中，錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數列錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。且滿足錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。例如常數錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響（4）與數列中的項相關的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。若數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。而錯誤！未找到引用源。解得錯誤！未找到引用源。！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】試題分析：（1）根據及時定義，列出等量關系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據子集關系，進行放縮，轉化為等比數列求和；（3）利用等比數列和與項的大小關系，確定所定義和的大小關系：設錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。則有：錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。① 判定錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。（3）當錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。和②：錯誤！未找到引用源。不成立，當錯誤！未找到引用源。因為錯誤！未找到引用源。所以當錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。設錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。因此數列錯誤！未找到引用源。的關系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列滿足，且． 的前項和為，滿足，．數列（1）求數列（2）若和的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；（3）是否存在正整數，使，請說明理由．【答案】（1）（2））成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，恒成立，記所以因為從而數列于是，為遞增數列，所以當．（），使成等差數列，則，時取最小值，（3）假設存在正整數即，若為偶數，則若為奇數，設于是當時，為奇數，而為偶數，上式不成立.，則，與矛盾；，即，此時4．已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．（1）求數列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。求數列錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。.（3）當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。5．