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空間向量的標準正交分解與坐標表示、空間向量基本定理課件北師大版選修-預覽頁

2026-07-05 19:01 上一頁面

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【正文】 (2)利用空間的一個基底 a， b， c可以表示出所有向量，注意結合圖形，靈活應用三角形法則，平行四邊形法則，及向量的數乘運算，表示要徹底，結果只含有 a、 b、 c，不能再有其他向量． 6．設 p： a、 b、 c是三個非零向量； q： a， b， c為空間的一個基底，則 p是 q的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若 a， b， c為非零向量，當 a， b， c共面時， a， b，c不能作為空間的一個基底；若 a， b， c為空間的一個基底，則 a， b， c不共面， a， b， c三個向量均不能為零向量，故選 B. 答案： B 7 ．如圖所示，已知平行六面體 ABCD － A1B1C1D1，且1AA ＝ a ，＝ b ， AD ＝ c ，用 a ， b ， c 表示如下向量： ( 1) 1AC ； ( 2) BG ( G 在 B1D1上且1BG ＝12 1GD ) ．解： ( 1) 1AC＝－1AA＝＋ AD －1AA＝－ a ＋ b ＋ c . ( 2) BG ＝1BB＋1BG，又1BG ＝13 1BD ＝13(11BA ＋11AD ) ＝13( AD － ) ＝13( c － b ) ， ∴ BG ＝ a －13b ＋13c . 8．若 a， b， c是空間的一個基底．試判斷 a＋ b， b＋ c， c＋ a 能否作為該空間的一個基底．解：假設 a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 共面，則存在實數 λ 、 μ ，使得 a ＋ b ＝ λ ( b ＋ c ) ＋ μ ( c ＋ a ) ， ∴ a ＋ b ＝ λb ＋ μa ＋ ( λ ＋ μ ) c . ∵ a ， b ， c 為基底， ∴ a ， b ， c 不共面． ∴????? 1 ＝ μ ，1 ＝ λ ，0 ＝ λ ＋ μ .此方程組無解，說明假設不成立， ∴ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 不共面． ∴ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 可以作為空間的一個基底． 1．空間任一點 P的坐標的確定：過 P作面 xOy的垂線，垂足為 P′.在平面 xOy中，過 P′分別作 x軸、 y軸的垂線，垂足分別為 A、 C，則 |x|＝ |P′C|， |y|＝ |AP′|， |z|＝ |PP′|. 2．空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底，基底中的三個向量 e1， e2， e3都不是 0. 3．空間中任一向量可用空間中不共面的三個向量來唯一表示． 4．點 A(a， b， c)關于 x軸、 y軸、 z軸對稱點的坐標分別為 (a，－ b，－ c)、 (－ a， b，－ c)、 (－ a，－ b， c)；它關于xOy面、 xOz面、 yOz面、原點對稱點的坐標分別為 (a， b，－c)、 (a，－ b， c)、 (－ a， b， c)、 (－ a，－ b，－ c)．

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