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北師大版選修2-2高中數(shù)學(xué)322《最大值、最小值問題(一)-預(yù)覽頁

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【正文】 2. ∴ f′ (x)＝ 3x2－ x－ 4＝ (3x－ 4)(x＋ 1)．令 f′ (x)＝ 0，則 x＝ 43或 x＝－ 1， ∴ 當(dāng) x∈ [－ 2，－ 1)時(shí)， f′ (x)0， f(x)為增函數(shù)；當(dāng) x∈ ??? ???－ 1， 43 時(shí)， f′ (x)0， f(x)為減函數(shù)；當(dāng) x∈ ??? ???43， 2 時(shí)， f′ (x)0， f(x)為增函數(shù)； ∵ f(－ 1)＝ 92， f(2)＝ 0f(－ 1)， f(－ 2)＝ 0， f??? ???43 ＝－ 5027f(－ 2)． ∴ f(x)在 [－ 2,2]上的最大值為 f(－ 1)＝ 92， f(x)在區(qū)間 [－ 2,2]上的最小值為 f??? ???43 ＝－ 5027. 12． (創(chuàng)新拓展 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ ax＋ ln x， g(x)＝ a2x2，是否存在正實(shí)數(shù) a，使 f(x)≤ g(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù) x 都成立？若存在，求出 a 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．解假設(shè)存在正實(shí)數(shù) a 使 f(x)≤ g(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù) x 都成立．令 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝ ax＋ ln x－ a2x2(x0)，則 [F(x)]max≤ F′ (x)＝ a＋ 1x－ 2a2x ＝ ax＋ 1－ 2a2x2x ，令 F′ (x)＝ 0，即 2a2x2－ ax－ 1＝ 0，解得 x＝ 1a或 x＝－ 12a(舍 )．當(dāng) x1a時(shí)， F′ (x)＜ 0， F(x)為減函數(shù)；當(dāng) 0x1a時(shí)， F′ (x)0， F(x)為增函數(shù)．所以 [F(x)]max＝ F??? ???1a ＝ ln1a≤ 0，所以 a≥ 1，故 a 的取值范圍為 [1，＋ ∞ ).

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