(名師點評)高考數學復習-導數答疑-免費閱讀

　　

【正文】 分享智慧泉源 智愛學習 傳揚愛心喜樂導數答疑1．本章的學習目標是什么？（1）掌握導數的定義，靈活運用導數的定義計算函數在某一點的導數．（2）掌握函數在某點的可導性與連續性的關系，即函數在某點可導必連續，連續不一定可導，不連續一定不可導．（3）掌握求導法則，尤其是復合函數的求導法則；能熟練地應用求導法則與基本公式求初等函數的導數；會求隱函數和參數方程所確定的函數的導數；并熟練地計算某些簡單的初等函數的高階導數．（4）理解中值定理特別是拉格朗日中值定理，初步具有應用中值定理論證問題的能力．（5）能熟練地運用洛必達法則準確地計算各種不定式的極限．（6）理解泰勒公式的意義，能熟練地寫出泰勒公式與馬克勞林公式．2．學好本章知識的關鍵是什么？由于導數是從許多的實際問題中抽象出來的一個數學概念，所以要知道導數的構造性定義，正確理解導數概念；知道導數是一種特殊類型的極限，即函數f（x）在點處的函數的增量與相應的自變量的增量的比值 當自變量的增量△x→0時的極限值．復合函數的求導是本章的重點，同時也是難點，熟練掌握和運用復合函數的求導法則對學好本章的知識具有重要作用．復合函數求導的關鍵在于搞清復合函數的結構，明確復合次數，把一個初等函數由外向內分解成基本初等函數，以便利用導數公式（基本初等函數的導數）．在求導過程中，比如，函數可看作y＝f（u）幾個基本初等函數復合而成，順次先將最外層的f關于u求導，再將次外層的關于求導，后將第三層的關于t求導，即逐次由外向內關于相應的中間變量求導，直至最內層的函數g關于自量x求導為止，并把這些所求得的導數順次相乘即得． 1．怎樣理解導數概念？在生產實踐和科學實驗中，常常需要研究函數相對于自變量的變化快慢程度．例如，要預報人造地球衛星飛過各大城市的時間，就需要知道衛星的飛行速度；要研究軸和梁的彎曲變形問題，就必須會求曲線的切線斜率等等．求速度和曲線的切線斜率問題，叫做求變化率問題，數學上稱為求導數．下面，我們將從幾個實際問題入手，引入導數的概念． 引例1 求變速直線運動的瞬時速度．解 設有一質點M在直線AB上自O點開始作直線運動（如圖31）．經過時間t后，該質點離O點的距離是t的函數s＝s（t）．求質點M在時刻的瞬時速度．設在到一段時間內距離從變到，在△t這段時間內質點M所走的距離為因此在△t時間內，質點M的平均速度為 若質點作等速運動，平均速度就是質點M在時刻的瞬時速度．若質點M的運動是變速的，則一般不會正好是的瞬時速度，但△t愈小，就愈接近的瞬時速度，所以當△t→0時，就可較精確的表示出時刻的瞬時速度．因此，我們用極限 來定義質點M在時刻的瞬時速度．瞬時速度v反映了路程函數s（t）相對時間t變化的快慢程度，稱為函數s(t)對于自變量t的變化率．引例2 切線的斜率．解 如圖32，求曲線y＝f（x）在其上一點處的切線PT的斜率．點P處的切線不是孤立的概念，它與已知的割線聯系著．在曲線上任意另取一點Q，設它的坐標是，其中，則過點與的割線斜率（即△y對△x的平均變化率）是當△x變化時，即點Q在曲線上變化時，割線PQ的斜率也隨之變化．當|△x|較小時，取割線PQ的斜率作為點P的切線斜率的近似值．當|△x|越小，這個近似程度也就越好．于是，當△x無限趨于0時，即點Q沿著曲線無限趨于P時，割線PQ的極限位置就是曲線過點P的切線，同時，割線PQ的斜率的極限k就是曲線過點P的切線斜率（即y＝f（x）在點處變化率）即 這樣就把求曲線在點P處的斜率問題轉化成求上面的極限問題．引例3 求電流強度．解 設電流通過導線的橫截面的電量是Q（t）,它是時間t的函數，求任一時刻的電流強度．我們知道，在直流電路中，電流強度是單位時間內通過導線橫截面的電量，即在交流電路中，電流大小是隨時間而改變的，不能直接按上述公式求時刻的電流強度．我們可通過以下方法得到：設在到一段時間內通過導線的電量是易知，△t取得越小，就越接近時刻的電流強度I．若當△t→0時，的極限存在，則平均電流強度的極限就是時刻的電流強度．因此，我們定義：．這樣，我們又把求瞬時電流強度問題歸結為求上面的極限問題．通過以上三個實際問題，我們可以看到，雖然三個問題的實際意義完全不同，但解決實際問題的數學結構是完全相同的，即只從數學結構來考慮，它們可歸結為（完全相同的數學結構）函數f（x）在某點處函數的增量與相應的自變量的增量△x（△x≠0）的比值當自變量△x無限趨于0時的極限．即．在實際問題中，還有許多其他的問題也可歸結為上面的極限來解決．我們把這些問題中出現的共同的數學結構抽象出來，就是我們的導數的概念，即導數是從這些實際問題中抽象出來的一個數學概念．設函數y＝f（x）在點的某鄰域內有定義，當自變量有增量△x（△x≠0）時（△x可正可負）函數有相應增量．若極限存在，則稱函數f（x）在點可導，并稱該極限值為函數f（x）在點（對x）的導數，記作，即 也可記作 若上面的極限不存在，則稱函數f（x）在點不可導．有時，我們把記作x，于是，當△x→0時，有,則上面的極限可改為導數定義的這兩種表示法，在以后的應用中都要用到．引入了導數概念之后，上面開始的三個引例都可用導數來描述，即要求質點在時刻的瞬時速度，只要求出路程函數s（t）在的導數即可；要求曲線y＝f（x）在點處的切線斜率，只要求出函數f（x）在點處的導數即可；要求時刻的電流強度，只要求出電量函數Q（t）在的導數即為所求時刻的電流強度．很明顯，函數增量與自變量增量之比是函數在以和為端點的區間上的平均變化率，而導數則是函數y＝f（x）在點處的變化率，它反映了函數f（x）在點處隨自變量的變化而變化的快慢程度．[注：從導數的定義中可以看出，導數實質上就是一種特殊的極限值，即函數f（x）在點處函數的增量與相應的自變量的增量△t（△x≠0）的比值，當自變量的增量△x無限趨于0時的極限但極限值并不一定是導數，如．]若只討論函數在點的左鄰域（或右鄰域）上的變化率，我們需引入單側導數的概念．存在，則稱f（x）在點右可導，并稱該極限為f（x）在點的右導數，記作若極限不存在，則稱f（x）在點右不可導．右導數與左導數統稱為單側導數．由左、右極限與極限的關系，我們很容易得到函數f（x）在點可導的充要條件是f（x）在點既是左可導又是右可導且左、右導數相等．即由導數的定義可知，要用定義求y＝f（x）的導數，可以分為以下三個步驟：利用導數定義求導數的難點是有一些比值的解析式不便于取極限，還需將其變形或化簡，使極限成為已知極限的形式，以便于計算．例1 求函數在點x＝3的導數．思路啟迪 利用導數定義求函數的某點的導數時，應先求出當自變量在某點有增量△x（△x≠0）時對應的函數的增量△y,然后計算△y與△x的比值的極限．規范解法 （2）算比值． （3）取極限． 點評 求函數在某點處的導數，首先應判斷函數在點處是否可導