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數學分析第四章函數的連續性(存儲版)

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【正文】函數，在上是分段連續的在Ｒ上是分段連續嗎？　在Ｒ上是分段連續嗎？三　間斷點及其分類１．不連續點（間斷點）定義　　定義３　設函數在某內有定義，若在點無定義，或在點有定義而不２，不則稱點為函數的間斷點或不連續點。例如，對，定義，則在連續。２　　連續函數的性質教學目的：熟悉連續函數的性質并能靈活應用。注　①在具體應用局部保號性時，取一些特殊值，如當時，可取，則存在，使得當有；②與極限相應的性質做比較可見，這里只是把“極限存在”，改為“連續”，把改為其余一致。例２求極限（１）。例５　求。、。注　表明若在上連續，又的話，則在上可以取得和之間的一切值。四　一致連續性l 引言在連續函數的討論和應用中，有一個極為重要的概念，叫做一致連續。（對后者的值就不一定可用于前者。要知在整個區間的情形，在整個區間內來找適合定義中的，這種性質稱為整體性質。試按一致連續性定義證明：若分別在和上的一致連續，則在上也一致連續。教學方法：學導式教學。例３．證明　在內是一致連續的，而在內連續但非一致連續。性質與區間中每一點及其附近的情形有關，即只要在區間中每一點，連續就行。中的曲線，對接近于原點的，就應取小一些。例７．設在上連續，滿足。性質３（介值定理）設在上連續，且。先給出下面的關于“最大大值”的定義：定義１　設為定義在數集Ｄ上的函數，若存在，使得對一切都有（），則稱在Ｄ上有最大（小）值，并稱為在Ｄ上的最大（小）值。３．利用初等函數的連續性可計算極限例３．設，證明：。（因此時若的話是顯然的；若，或在無定義，即是的可去間斷點時，只需對性質４的證明做修改：“”為“”即可）。則在某有界。例如，是函數，的第二類間斷點。設是的可去間斷點，且。在處為左連續，在處為右連續，因而它在上連續。５．在點左（右）連續定義① 定義２：設函數在點（內有定義），若（），則稱在點右（左）連續。注：一個定義是等價的，根據具體的問題選用不同的表述方式。例２．。因此，為了給出“連續”的定義，需要對此作進一步分析和研究。教學重點：函數連續性概念。例4 設函數在內連續且則在內有最小值. 與比較. 理論概述：二、教學方法：學導式教學。一致連續的判定: 例9 驗證函在區間內一致連續. 連續定義中對的依賴性：例6 （三）反函數的連續性: Th 7 若函數在上嚴格遞增( 或減 )且連續, 則其反函數在相應的定義域或上連續. ( 證 ) Th 4 若函數在點連續，函數在點連續, 且 , 則復合函數在點連續. ( 證 )局部保號性：教學要求：1. 掌握連續的局部性質（有界性、保號性），連續函數的有理運算性質，并能加以證明；熟知復合函數的連續和反函數的連續性。討論函數的間斷點類型.例5 二、講授新課：（一）函數在一點的連續性： 1．連續的直觀圖解：由圖解引出解析定義. 2.《數學分析》教案第四章函數的連續性教學目的：；；，并能加以證明；，并能清楚地認識到函數在一區間上連續與這一區間上一致連續的聯系與區別。一、引入新課：通過生活和科學研究中的實例說明學習連續函數的必要性。跳躍間斷點和可去間斷點統稱為第一類間斷點, 其他情況即或中至少有一個不存在稱為第二類間斷點.例4 2 連續函數的性質（6學時）教學目的：熟悉連續函數的性質并能靈活應用。復合函數連續性： 1. 推論 ( 零點定理 ) 例4 證明: 方程在到之間有實根. 例5 設是正數, 為正整數. 證明方程有唯一正實根. 唯一性的證明用在內的嚴格遞增性. 例8 驗證函數在內一致連續. 4.教學難點：初等函數連續性命題的證明。二.

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