不等式的證明方法5篇(存儲版)

　　

【正文】 (x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。2abc2222b(c+a)179。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。an≤a1+a2+188。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數學歸納法不易證明,++188。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數統系數學與應用數學 專業 11 級本科生論文（設計）選題實習報告11級數學與應用數學專業《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。2bc+b用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。13(f(a)+f(b)+f(c))，從而a+b+ca+b+c3ln3163。b2n+2246。+231。a246。n+= sinx+cosx)n+2 (247。2+bn+2246。22兩邊除以n即得．說明：兩邊乘以1n后開方得1nia229。ai．i=1232。163。n2246。i=1248。R，i=1，2，?，n．求證：229。nB2，K，AB163。a2i=A2,229。a22nibi)163。x=(xy)cosx 故 sinxsiny163。 設f(x)=ex1x,則f162。0，則f(x)單調上升；若f162。sinx247。 求證：a2+b2+c2+d2179。L163。2 所以 z12180。43180。2248。1246。18.，取最大值，8163。sinx1+x2+L+xnnA+：當A+B為常數時，有sinAsinB163。1+ 設m=yax，則y=ax+m 代入x2+y2=1中得 x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因為x,y206。235。232。234。233。230。ak1b+abk1成立，則ak+1+bk+1=a(a+b)abkkk+bk+1179。999910000221=110001110000，所以 p[6]對于含有n(n206。L180。***b1+b2+L+bn=1180。=2，即 [3]+179。ab=(a2179。232。1，179。180。5622180。R+，n206。akb+（1）、（2），an+bn179。1246。t247。t247。3248。13，13所以 ab+bc+ca163。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。(A)=0得 C=2A，即A= f162。N，求證：1+證明 因為 1+12+13+L+112+13+L+1nn(nn+11).230。+231。232。nn+ 1+[910]++L+n(nn+11).在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恒等式、復數等，可以達到簡捷、明快、 已知：x2+y2163。z12222180。L163。ab+bc+cd+[12]中原工學院借助幾何圖形， 已知：a,b,m206。時，f(x)max=2。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f162。(x)0,=0處連續，則當x185。3abc, 其中a,b, 設拉格朗日函數為對L(x,y,z,l)=xyz+l(1x+1y+1z1r).對L求偏導數并令它們都等于0，則有Lx=yzlx2=0，Ly=zxly2=0，Lz=xylx2=0，Ll=1x+1y+1z1r=，易的1x=1y=1z=xyz=，求出m==y=z=3r,l=(3r)+1y+1z=1r為了判斷f(3r,3r,3r)=(3r)3是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數z=z(x,y)（滿足隱函數定理條件），并把目標函數f(x,y,z)=xyz(x,y)=F(x,y)看作f與z=z(x,y)，：zx=zx22,zy=zy22，Fx=yzyzx2,Fy=xzxzy2，中原工學院F=2yz3,F=zz2z2+2z3，xxx3xyyxxy2xz3Fyy==y=z=3r時，Fxx=6r=Fyy,Fxy=3r，F2xxFyyF=27r2，所求得的穩定點為極小值點，179。b2i).i=1i=1i=1證明 要證柯西不等式成立，只要證nnn 229。ABi=1n229。b2i(229。2ai179。230。ai247。ai247。i=1248。ni=1．當ai為正數時為均值不等式中的算術平均不大于平方平均． [19] 例24 設a,b為正常數，0xabp2，n206。2n2b246。nnn232。n247。cosx248。22[20] 例 25 證明不等式a+b+c(abc)3163。a+b+c3,所以a+b+c(abc)3163。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。s2mθ2k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+12平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2方法； 應用不等式在數學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數變形，在初等數學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數列求和等等。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為