不等式的證明方法5篇-wenkub.com

　 　

【正文】 AniBi179。0，B179。R，所以D=442(13y)179。2248。+231。2525230。.232。a+b246。=a+b+4=233。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。所以(a)0，這與231。a+(1a)+4+8179。237。a+b+4(a+b)+8179。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個(gè)最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對(duì)所有n成立.(7)、(無(wú)窮遞降法)若P(n)對(duì)某個(gè)n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設(shè)有兩個(gè)命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對(duì)所有n都成立，若能注意運(yùn)用變形和放縮等技巧，,n有關(guān)，可考慮用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法，即若要證命題P(m,n)對(duì)所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對(duì)所有m,n成立；②設(shè)P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學(xué)歸納法與其它方法的綜合運(yùn)用，例如，證明n229。r163。1時(shí),Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0，所以 |y1|≤,即≤y≤.又當(dāng)y=1時(shí),方程的解x=0，x2+x+113故 ≤2≤.x+122121232（5）放縮法第10頁(yè)（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))為了證明不等式的需要,有時(shí)需舍去或添加一些項(xiàng),使不等式一邊放大或縮小,[5]設(shè)a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù),且a3b3=a+b.證： 由題設(shè)得a3b3=a2b2222。188。188。180。352n+142n12342n12n由于,188。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。 證： 設(shè)A=180。同理有0(1b)b≤,0(1c)c≤.即（1a)b(1b)c(1c)a≤② 641414第9頁(yè)（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))①與②產(chǎn)生矛盾,從而原命題成立.（3）構(gòu)造法在證明不等式時(shí),有時(shí)通過(guò)構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、向量、對(duì)偶式等, 求證180。231。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。,所以,且當(dāng) 163。165。1, 這時(shí) 1121,1,179。2bc,a0,\a(b2+c2)179。44a+1+294=2a+13 注意到對(duì)稱(chēng)有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。99, 又a+b+c=1得 163。a2+b2+c2ab+bc+ca。+1≤na1a2188。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁(yè)（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,=K時(shí)成立,需證n=K+1時(shí)也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項(xiàng)”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=左邊右邊.(2)假設(shè)n=K時(shí), 1111+11+?+K成立,則當(dāng)n=K+1時(shí), 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì)) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。R時(shí)，即 1+2x4179。方法； 應(yīng)用不等式在數(shù)學(xué)中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類(lèi)考試中的熱點(diǎn)試題,證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學(xué)中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學(xué)中有關(guān)不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應(yīng)面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項(xiàng)式定理、數(shù)列求和等等。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設(shè)x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯(cuò)證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號(hào)，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯(cuò)因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xnyn和xn1yn1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。2平方添項(xiàng)運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項(xiàng)例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2k+22k+1＞2k+32②對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通常考慮用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。s2mθ例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換小）某些項(xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）等。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。a+b+c3,所以a+b+c(abc)3163。(x)=1x中原工學(xué)院可見(jiàn)，f(x)=xlnx在xf(a+b+c3)163。22[20] 例 25 證明不等式a+b+c(abc)3163。ancosx232。cosx248。b246。n247。2230。nnn232。a22+證明 231。2n2b246。ansinxcosx232。ni=1．當(dāng)ai為正數(shù)時(shí)為均值不等式中的算術(shù)平均不大于平方平均． [19] 例24 設(shè)a,b為正常數(shù)，0xabp2，n206。i=1248。i=1248。=n229。ai247。1247。ai247。2