[所有分類]第五章約束優化方法-文庫吧在線文庫

　　

【正文】 約束最優解及其一階必要條件 167。 51約束最優解及其一階必要條件 機械優化設計中的問題，大多數屬于約束優化設計問題，其數學模型為 實際工程中大部分問題的變量取值都有一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優問題。再以新點為起點，重復上述搜索過程，直至滿足收斂條件。 新目標函數： 其中： 懲罰項： ??? )(),( )(2)(1 xfrrx kk )]([)]([1)(21)(1 xhHrxgGrpv vkmu uk ?????加權因子 (懲罰因子 )： r1(k) , r2(k) 無約束優化問題： Φ函數的極小點序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2… 其收斂必須滿足： 167。 首先選定可行初始點 X (0)， 利用隨機函數構成隨機方向 S（ 1） ， 按給定的初始步長 h=h0沿 S（ 1） 方向取得試探點 檢查點 X(1)的適用性和可行性 ， 即檢查 二、 隨機方向法 )3(X )3(x )2(X )0(X )1(S )1(X )2(S *X )3(x 圖 51 隨機方向法 直至達到某迭代點不能同時滿足適用性和可行性條件時停止 ， 退回到前一點作為該方向搜索中的最終成功點 ， 記作 X(1)。此時可將初始步長 h0縮半后繼續試探 ,直到 f(k+1)≤ f(k)，且沿 m個隨機方向都試探失敗時，則最后一個成功點（如圖中的 X (3)點）就是到達預定精度要求的約束最優點，迭代即可結束。 將 X1的表達式代入目標函數中 ， 進行一維搜索 ，令目標函數對步長 a的一階導數為 0， 即可求出沿 e1方向的最優步長 。 167。若滿足可行域，則用 X(R)代替X(H)構成新的復合形。對于維數較高的問題，采用隨機方法，先產生 K個隨機點，然后再把非可行點逐一調入可行域內。但是，只要它們中間有一個點在可行域內，就可以用一定的方法將非可行點逐一調入可行域。 （ 4）計算映射點 X(R): 檢查 X(R)是否在可行域內。 4個復合形頂點。在新的復合形中重復 上述過程 …… 復合形 方法評價： （ 1） 復合形法 ， 僅通過選取各頂點并比較各點處函數值的大小 ， 就可尋找下一步的探索方向 。滿足上述兩個條件的方向稱為 適用可行方向 。 圖 54適用 可行區域 一、基本搜索過程 ? 首先在可行域內取一初始點 X(0)。 ? 如果 X(1) 點是在可行域邊界上或是由邊界以外調回到邊界上，則下一次不再采用負梯度為搜索方向，而采用一個適用可行方向 S (K)。 。圖 58（ b）是 J=2 又與 成銳角構成的扇形空間， x2 是既與 又與 成銳角而構成的扇形空間。以后各次搜索方向均為適用可行方向，以最大步長從一個邊界反彈到另一個邊界，直至滿足 KT 條件。 0x1x2xkskxk + 1g2( x ) = 0g1( x ) = 0a * skaMskx 改變步長，使新點 x返回到約束面上來。前提： 1 不能破壞約束問題的約束條件 ， 2 使它歸結到原約束問題的同一最優解上去 。 m in ( )s . t . ( ) 0 ( 1 , 2 , , )jfg j m?? ???xx對于只具有不等式約束的優化問題： 轉化后的懲罰函數形式為： ()11( , ) ( )()mki ir f r g???? ?xx x()1( , ) ( ) l n [ ( ) ]mkiir f r g??? ? ??x x x或： 說明： ”公式中“ 0)(??xg j? rk是懲罰因子 ， 它是一個由大到小且趨近于 0的正數列 ， 即 : 0 1 2 1 0kkr r r r r ?? ? ? ? ? ? 由于內點法的迭代過程在可行域內進行 ， “ 懲罰項 ” 的作用是阻止迭代點越出可行域 。 一般而言 ， 太大 ， 將增加迭代次數；太小 ， 會使懲罰函數的性態變壞 ， 甚至難以收斂到極值點 。在機械優化設計問題中，這種近似解雖非最優點，但比初始方案已經有很大的改進，如果已能較好地符合工程設計的要求，則可以被接受作為一種最優設計。 對幾個問題的討論 初始點 的選取 由上述外點法的特點不難看出，外點法的初始點 x(0)可 以任意選取，即在可行域或非可行域上選取皆可。這對某些工程問題是不允許的。 *x用外懲罰函數法解等式約束優化問題 設有二維等式約束優化問題 54)(m i n 2221 ??? xxXF010)(. 211 ???? xxXhts ： 函數圖形見圖。懲罰項 ，在可行域上懲罰項為零；在非可行域上懲罰項恒為正。其確定是系列無約束最優點是非可行點，對于工程設計一般是不可取的。由于該問題的約束條件包含不等式約束與等式約束兩部分，因此，懲罰項也由對應的兩部分組成。 用內點形式的混合法的罰函數為 用外點形式的混合法的罰函數為 將已知條件代入上式中，選取初始點 X(0)，初始罰因子r(0)，遞減系數 c（對于內點形式的混合法）或遞增系數 c（對于外點形式的混合法）。 ))(( 0gXg i ?G0－轉換點，一般取 約束裕量，將約束面放寬 采用一維搜索 H1－懲罰函數 在 Xk點的二階導數逆矩陣。因此該方法也是應用較多的有約束優化方法。 外點形式的混合法 不等式約束部分按外點法處理的混合法，其懲罰函數的形式為 初始點可以在空間內任選，初始罰因子 r(0)、遞增系數 c可以參照外點法選取。問題這就是對于固定的所以)(m i n121)(*xrrrrxxkRxkn??????解。隨著 r(K) 的增大，致使 。在可行域上，懲罰項的值為零，懲罰函數的值與原目標函數的值相同；而在非可行域上懲罰項的值恒為正，懲罰函數大于原目標函數，即在可行域外懲罰項起到了懲罰作用。 算法步驟及流程圖 1)在 n維空間任取初始點 x(0) ； 2)選取初始懲罰因子 r(0)，遞增系數 c，并置 K?0； 3)求 ，取得最優點 ； 4)當 K=0轉步驟（ 5），否則轉步驟（ 6）； 5)K?K+1， ， ；并轉步驟（ 3）； 6)按終止準則判別，若滿足則轉步驟（ 7），否則轉步驟（ 5）； 7)輸出最優解 ，停止計算。通常 c=5~10。 56 外懲罰函數法 外點法是從可行域的外部構造一個點序列去逼近原約束問題的最優解。 2） 選取初始罰因子 r(0)與罰因子降低系數 c， 并置 K← 0； 3） 求 minφ(x(K),r(K))解出最優點 xK*； 4） 當 K=0轉步驟 5） ， 否則轉步驟 6） ； 5） K←K+ 1， r(K+1)←r (K)， xK+10←x K* ， 并轉步驟 3） ； 6） 按終止準則判別 ， 若滿足轉步驟 7） ， 否則轉步驟 5） ； 7） 輸出最優解 （ X*， F*） ， 停止計算 。 例 51 用內點法求 2212m i n ( )f x x??x1s . t . ( ) 1 0gx? ? ?x的約束最優解。 根據約束形式和定義及懲罰因子的遞推方法等不同 ， 罰函數法可分為 內懲罰函數法 、 外懲罰函數法和混合懲罰函數法三種 。 例 :已知約束優化問題 (課堂練習 ) 試以 X10=[2 1]T， X20=[4 1]T 和 X30=[3 3]T為復合形的初點，用復合形法進行兩次迭代計算。 0x1x2x0xkxk + 1g2( x ) =0g1( x ) =0g3( x ) =00()f?? x沿線性約束面的搜索 圖 510貼邊搜索法 若可行域是凸集，約束面是非線性時，從 xk點沿切線（面）方向 搜索，會進入非可行域 建立約束面的容差帶 +δ， 從 x(k) 出發，沿 s(k)方向搜索到 s(k) 方向與 g(x) +δ=0 的交點 x ′后，再沿適時約束的負梯度方向返回約束面的 x(k+1)點。 最優步長法： 第一次搜索為負梯度方向，終止于邊界。若 X (K)點的所有約束函數值都小于零， 則它是可行域內部的可行點；若 X (K) 點的某個約束函數值或 某幾個約束函數值等于零或接近于零，則該點是在邊界上的 可行點（這一個或幾個約束是 X (K) 點的起作用約束）。 二、適用可行方向的數學條件 適用性條件 前面已經指出，搜索方向 S(K) 滿足適用性條件是 指目標 函數 F(X) 沿該方向是下降的 。 如果發生情況③，則通過一定的計算取得新的步長，使其迭代點返回至可行域的邊界上，見圖 55。 步長 α(k) 的選擇原則： 使新點 x(k+1) 在可行域內。 （ 3） 因為迭代過程始終在可行域內進行 ， 運行結果可靠 。 求 XH的映射點 XR，取映射系數為 ： 經檢驗，映射點 XR在可行域內。 若經過多次的映射系數減半，仍不能使映射點優于壞點，則說明該映射方向不利，此時，應改變映射方向，取對次壞點的映