[所有分類]第7章信號(hào)與系統(tǒng)控制的復(fù)頻域分析-文庫(kù)吧在線文庫(kù)

　　

【正文】 ??????? ?? ???? ?sstdesesttdettdettsFtstststs，?21)(stt ??0]R e [ ?s， 0)( ?ate ta ??asastdedtteesF tasstat ?????? ?? ? ???? ]R e[1)()( 0 )(0 ，??asaste ta ???? ]R e[1)( ，??)(tt? ⑸ 正弦信號(hào) 即： 類似有： 0]R e [)11(21)(21)(s i n)(2200?????????????????ssjsjsjtdeeejdttetsFtstjtjst，????????0]R e [s i n 22 ??? sst ，???0]R e [c os 22 ??? ss st ，??t?sin? 5）單邊拉普拉斯變換的性質(zhì) 單邊拉氏變換的性質(zhì)反映了不同形式的信號(hào)與其單邊拉氏變換的對(duì)應(yīng)規(guī)律。 )()( 11 sFtf ? )]Re[( 1??s )()( 22 sFtf ? )]R e [( 2??s)()()()( 2121 sFsFtftf ?? )),m a x (]R e [( 21 ???s⑸ 時(shí)域卷積 若 ， 且 ， 則 )(tf )()( sFtf ? )]R e [( 0??s? ? ??? t s sFdftf 0)1( )()()( ?? )),0m ax (]R e [( 0??s?nnssFtf )()()( ?? .,2,1( ??n )),0m ax (]R e [ 0??s)()( tf n? )(tf ?0 t n)(tf? ?? ??? ??? t sfs sFdftf )0()()()( )1()1( ?? )),0m a x (]R e[( 0??s???????? ?? nmmmnnn fsssFtf1)(1)( )0(1)()( )),0m a x (]R e[( 0??s⑺ 時(shí)域積分性質(zhì) 對(duì)于因果信號(hào) ，若 表示對(duì) 從 到 的 而對(duì)于非因果信號(hào) 則有 時(shí)域微分性質(zhì)和時(shí)域積分性質(zhì)，主要應(yīng)用于復(fù)頻域分析中 線性連續(xù)系統(tǒng)的微 ﹑ 積分運(yùn)算以及系統(tǒng)微分方程的求解。 一般 ,F(s)可表示為 式中 a i , b i 均為實(shí)數(shù)且 a n =1。 ? ?? ??nimjjjii tfbtya0 0)()( )()()()( ty i ),1,0( nia i ??),1,0( mjb j ??)()(/)()()(00 sFsYsasbsAsBsG fniiimjjj ??? ????)0()( ?iy)()( tf j)1,1,0( ?? ni ?00 ?t例 若 LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 ，而且 ， 。由圖 b. 有 又 代 入上式可得 當(dāng) 時(shí)， 有 1)0( ??cu 為所求 。 ? 圖 ，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，式中 K為開(kāi)環(huán)增益，為兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 ? 有 () ? 假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有 m個(gè)零點(diǎn)、 n個(gè)極點(diǎn)，則 ? ? () ? 式 ()中， zi為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)， pi為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)， K * 則為根軌跡增益，與開(kāi)環(huán)增益 K的關(guān)系為 ? ? 或 。 圖 例 解：由題 可知此系統(tǒng)有 3 條根軌跡，實(shí)軸上的根軌跡為 [ 1 ， 0 ] 與（ ∞ ， 2 ] 區(qū)段，標(biāo)出根軌跡方向后如圖 所示； 在 P344例 ，已確定了此根軌跡的漸近線； 在 P346例 ，則確定了 此 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)； 下面還需確定分離點(diǎn)及分離角。 根軌跡，而負(fù)反饋回路的根軌跡則稱為 180176。 ? 可以認(rèn)為，偶極子中閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，完全被偶極子中的閉環(huán)零點(diǎn)抵消了。 ? ? 要配置附加閉環(huán)零點(diǎn)而不是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 ? ⑸ 根軌跡分析的試探法 ? 根軌跡分析的試探法是一種常用的方法 ， 一般分兩步完成 。 如果各向量的相角 不滿足 阻尼線， 試探、調(diào)整 的位置，直至滿足或基本滿足相方程為止。 ② 無(wú)限長(zhǎng)因果序列雙邊 Z變換的收斂域?yàn)?|z||z0|(z0為復(fù)數(shù)、虛數(shù)或?qū)崝?shù) )，即收斂域?yàn)榘霃綖?z0的圓外區(qū)域。 ③ 反演積分法 (留數(shù)法 )： 雙邊 Z逆變換也可以根據(jù)定義式計(jì)算 ， 這種方法稱反演積分法。 稱為 f (k) 的象函數(shù)， 則為 的原函數(shù)。 下面舉例說(shuō)明部分分式展開(kāi)法。 () 單邊 Z 變換的收斂域與因果信號(hào)雙邊 Z 變換的收斂域相同。因果信號(hào)的雙邊 Z 變換即 單邊 Z 變換。 ? 3）常用序列的雙邊 Z變換 ? 4）雙邊 Z變換的性質(zhì) ? 5） z 域逆變換 雙邊 Z逆變換的計(jì)算有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法、部分分式法、反演積分法 (留數(shù)法 )等方法。 2, …) ， z 的冪級(jí)數(shù)函數(shù) () 即為 f(k)的雙邊 Z 變換，記為 F(z)=Z[f(k)]， F(z)稱為的象函數(shù)， f(k)稱為 F(z)的原函數(shù) ⑵ 雙邊 Z變換的收斂域 F(z)在或級(jí)數(shù)收斂的充分條件是 在 [Z]平面上，能使式（ ）級(jí)數(shù)收斂的 z 的取值區(qū)域即為 F(z)的收斂域 kkzkfzF ??????? )()(????????kkzkf )(Re[ Z ]Ima0)()( kakf k?? )(kf例 試對(duì)無(wú)限長(zhǎng)因果序列 ， 求 Z變換和收斂域。 例 若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) )44)(44()()( jsjssKsHsG??????如圖 ， 其 所示 ， 試確定滿足阻尼比 ?? 時(shí)的 K* 值。在構(gòu)造新系統(tǒng)前、后 的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可分別用 圖 a. 與圖 b. 表示。 ? 1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 ? 利用系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件 ，可以由系統(tǒng)根軌跡 直接進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 。 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 ? 1. 系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系 ? 2. 主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子的概念 ? 主導(dǎo)極點(diǎn)：對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能起著決定作用的極點(diǎn)即為主導(dǎo)極點(diǎn)。 ? 解：由題，原系統(tǒng)特征方程為 考慮nm 的限制，應(yīng)將特征方程中不含 T 的項(xiàng)作為新系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分子，而把含 T 的項(xiàng)作為新系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分母，即有 0)( )(1 ?? sQ sPa)1()()()(??? sTsssHsG)()(2 ????? ssssT0)10( 26101 22?? ??? ssT ss? 可畫(huà)出 變化時(shí)的參量根軌跡，如圖 。 ???? ???mi ini i zdpd 1111?,2,1,0)12( ????? klkθ d ?)()(1 8 011 jinijjjimjpppzpθi?????????????)()(18011 jimijjjinjzzzpzi???????????????????niinii ps112?? mn???????0)]()(1[0)]()(1[????jHjGImjHjGRe可解出系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的 K 值與 ω 值。 ? ② 當(dāng) K = 時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相同負(fù)實(shí)根（二重極點(diǎn)），呈臨界阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)仍為非周期過(guò)程。 （ Re [s]0 ） 為所求。 ? ? 0)(ti ? ? 0)(tu?????????0)(U0)(Iss? 2） R LC元件的 S域模型 ⑴ 零狀態(tài)下 R LC元件的 S域模型 )( ti)( tuR )(I s)(U sR)( ti)( tuL )(I s)(U sL s)( ti)( tuC )(I s)(U s1 / C s圖 零狀態(tài)下 R LC 元件的 S 域模型 ⑵ 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域模型 )( ti)( tuL )(I s)(U sL s)0(?iLa .)( ti)( tuC )(I s)(U s1 / C ssu /)0(?b .)( ti)( tuL)(I s)(U sL ssi /)0( ?a .)( ti)( tuCb .)(I s)(U s1 / C s)0( ?uC圖 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域并聯(lián)模型 圖 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域串聯(lián)模型 )( tf )( ty)( tu C)( ti L LCR2 ? 1H 1F)(tf )(ty )(tg)0(,)0( ?? cL ui)()( ttf ??1)( ?sF )()()( sGtgty f ??圖 例 例 圖 電路中， R = 2Ω， L = 1H， C = 1F，輸入 ，輸出 ① 求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) ； ② 確定初始狀態(tài) 。 的展開(kāi)式為 用拉普拉斯變換法求解微分方程 ? 由于 LTI連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系通常用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述，而單邊拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)是考慮了系統(tǒng)的初始狀態(tài)的，因此系統(tǒng)微分方程的單邊拉氏變換不僅使系統(tǒng)微分方程 變?yōu)閺?fù)頻域的代數(shù)方程，使求解變得簡(jiǎn)單易行；而且引入了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，既可以 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ， 又可以求解系統(tǒng)的零輸 入響應(yīng)和完全響應(yīng)。 的初值為 終值定理：若 （ 原點(diǎn)除外），則 表 單邊拉氏變換的性質(zhì) 6）單邊拉普拉斯逆變換 求單邊拉氏變換的逆變換是復(fù)頻域分析法的基本問(wèn)題。 。 ? 例 求時(shí)限信號(hào) f1(t)=ε(t)ε(tτ),τ 0 的雙邊拉氏變換及其收斂域 解：設(shè) f1(t)的雙邊拉氏變換為 F1(s)，則有 由上述積分過(guò)程可知： F1(s)的存在與 σ的取值無(wú)關(guān)可任意選取。 ? 頻域分析法揭示了信號(hào)的頻譜特性和系統(tǒng)的頻域特性，但頻域分析法有兩個(gè)局限性：一是某些信號(hào)的傅立葉變換不存在，給信號(hào)與系統(tǒng)的分析帶來(lái)了很大的不便；另一個(gè)最大的局限性就是只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。由于 σ =Re[s]， 所以 F(s)是否存在，取決于是否選擇了適當(dāng)?shù)? s 。 利用這些性質(zhì)并結(jié)合常用信號(hào)的單邊拉氏變換對(duì) ，能夠較快地求解單邊拉氏變換和逆變換的問(wèn)題。 式中： 重積分。 若 F(s)為假 分式，則必須用多項(xiàng)式除法將 F(s)分解為有理多項(xiàng)式（商）與有理真分式（余式）之和，即 01110111)()()(asasasbsbmbsbsAsBsFnnnmmmm????