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湖南卷-理科數學試題及答案20xx年普通高等學校招生全國統一考試理科數學試題及答案-湖南卷(更新版)

2025-10-31 18:27上一頁面

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【正文】 1 ) .y x z n? ? ?故可取設 2 2 2 2( , , )n x y z? 是平面 PAD的一個法向量，則由 220,0n PAn AD? ????????得 2 2 22 2 20 0 2 0 ,13 0 0.22x y zx y z? ? ? ? ???? ? ? ? ???所以 2 2 20, 3 .z x y? ? ? 故可取 2 ( 3, 1, 0).n ?? 于是， 1212122 3 15c os , .552nnnnnn?? ?? ? ??? 故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（銳角）的大小是 15arccos .5 18.（本小題滿分 12 分）數列 ? ? 221 2 21 , 2 , ( 1 c o s ) s in , 1 , 2 , 3 , .22n n nnna a a a a n???? ? ? ? ? ?滿足 (Ⅰ )求 34,aa并求數列 ??na 的通項公式； (Ⅱ )設 21122 ,.nn n nnab S b b ba ?? ? ? ? ?證明：當 16 2 .nnS n? ? ?時，解 (Ⅰ )因為 221 2 3 1 11 , 2 , ( 1 c o s ) s in 1 2 ,22a a a a a??? ? ? ? ? ? ? ?所以 2222(1 c o s ) sin 2 4 .na a a??? ? ? ? ? 一般地，當 *2 1( N )n k k? ? ? 時， 222 1 2 1( 2 1 ) 2 1[ 1 c o s ] s in22kkkkaa ? ?????? ? ? ＝ 211ka ? ? ，即 2 1 2 1 ???? 所以數列 ? ?21ka? 是首項為公差為 1的等差數列，因此 ? ? 當 *2 ( N )n k k??時， 222 2 2 2( 1 c o s ) s in 2 .22k k kkka a a??? ? ? ? ? 所以數列 ? ?2ka 是首項為公比為 2的等比數列，因此 2 ? 故數列 ??na 的通項公式為*2*21 , 2 1 ( N ) ,22 , 2 ( N ) .nn n k kan k k?? ? ? ??? ?? ??? (Ⅱ )由 (Ⅰ )知， 212 ,2nn nna nb a ??? 231 2 3 ,2 2 2 2n nnS ? ? ? ? ? ① 2 2 4 11 1 2 32 2 2 2 2n nnS ?? ? ? ? ? ② ①－②得，2 3 11 1 1 1 1 .2 2 2 2 2 2n nn nS ?? ? ? ? ? ? 1111[1 ( ) ]122 1.1 2 2 212nn n nnn???? ? ? ? ?? 所以1122 2 .2 2 2n n n nnnS ? ?? ? ? ? ? 要證明當 6n? 時， 12nS n??成立，只需證明當 6n? 時， ( 2) 12nnn? ?成立 . 證法一 (1)當 n = 6時，66 ( 6 2 ) 4 8 3 12 6 4 4?? ? ? ?成立 . (2)假設當 ( 6)n k k??時不等式成立，即 ( 2) kkk? ? 則當 n = k+1時，1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) 222kkk k k k k k k kk k k k?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 由 (1)、 (2)所述，當 n≥ 6時， ( 1) 12nnn? ?，即當 n≥ 6時， 12.nS n?? 證法二令 ( 2 ) ( 6 )2n nnn???，則 21 11( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 2 2nn n n nn n n n ncc? ??? ? ? ?? ? ? ? ? 所以當 6n? 時， 1nncc? ? .因此當 6n? 時，6 6 8 3 4 4ncc ?? ? ? ? 于是當 6n? 時， ( 2) nnn? ? 綜上所述，當 6n? 時， 12.nS n?? 19.（本小題滿分 13 分）在一個特定時段內，以點 E 為中心的 7海里以內海域被設為警戒

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